Une courbe peut être exprimée en coordonnées polaires

Exemples, i^. Dans ce système, Téquation du cercle dont le rayon est r, en prenant Torigine au centre, serait

2^. Si, en même temps que la droite indéfinie Ou tourne autour du point O, on suppose que le point M se meuve de manière que les accroissements successifs du rayon vecteur u soient proportionnels à ceux de Tangle a, la courbe décrite est la spirale (t jirchimède ^ et son équation est Il = a a -h £, en désignant par b la longueur du rayon vecteur qui correspond â ce =: o, et par a l'accroissement de u pour chaque unité de ol,

y. Coordonnées focales.

96. La position d'un point dans un plan pourrait être définie par ses distances à deux points donnés dans ce plan.

FOCALES. 8l.

Ce mode de détermination est quelquefois employé dans le lei^er des plans.

Si F et F' sont deux points donnés à priori, et si u et u' sont lès distances respectives d'un point M à F et F', ces deux quantités, étant déterminées, appartiendront à deux points rectangulairement symétriques par rapport à la droite FF'.

Une équation entre les distances //, u\ considérées comme variables, peut servir à exprimer une courbe rectangulairement symétrique par rapport à la droite FF'.

Exemples, i^. Si la somme i/H-m' est constante, là courbe s'appelle une ellipse^ dont les points F, F' sont leà foyers. Etant données la distance FF' = 2c et l'équation M H- u' = 2 a, il est aisé de construire la courbe par points (fig' 26)5 on peut même la concevoir décrite d*un mouvement continu à Taide d'un fil dont la longueur serait 2a, et dont les extrémités seraient attachées aux foyers F, F'; une pointe traçante qui glisserait le long du fil en le tenant toujours tendu décrirait la courbe.

2*^. Si 'la différence u — u' ou u' — u est constante, la courbe s'appelle une hyperbole^ dont F et. F' sont les foyers. Etant données la distance FF' = 2c eft l'équation u — !«'== zh 2«, ou (a — u'Y = 4^'j' 011 construit facilement la com*be par points {fig- 27). On peut aussi en décrire d'un mouvement continu un arc d'une certaine étendue : une règle^ tourne dans le plan de manière que l'un de ses points, toujours le même {fig- 20), se confonde avec l'un des foyers F 5 un fil NMF' est attaché, d'une part à un point N de la règle, d'autre part au second foyer F', et la distance FN excède de na la longueur de ce fil 5 une pointe M, qui glisse le long de la règle, en tendant le fil, trace la courbe, car on a

FM — F'M = FN — F'MN = 2fl.

82 COORDONNÉES FOCALES.