IL DE LA LIGNE BBOITE

102. Toute ligne droite située dans le plan de deux axes coordonnés faisant un angle quelconque est exprimée par une équation du premier degré ^ qui appartient à tous ses points et n appartient à aucun antre.

Pour le démontrer, considérons d'abord des cas particuliers.

1^. Si la droite se confond ai^ec Vun des axes ou lui est parallèle^ F équation ne contient quune ^variable.

En effet, l'équation x='o appartient exclusivement à

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ums les points de Taxe des^, et l'éqnatioii x= r (coDstante) à ceux d'nne parallèle k Taxe dès jr.

o?. Si la droite passe par F origine j son équation est de la forme y = cur, le coefficient a étant un nombre abstrait affecté d'un signe -h ou — .

En effet, soient sur cette droite des points quelconques M', M'', M'^, dont les coordonnées sont x', y' ^ x", y'^ ; x^j y"\ ... : il est évident qu'on a, quels que soient les signes de ces coordonnées,

y^ = yl — yl

3Cf X'' X"

Cest ce qu'on exprime en disant que le rapport - est con-

stant, et en posant l'équation j^ = ax.

Le coefficient a est un nombre abstrait positif lorsque la droite divise l'angle xOy et son opposé ; il est n^atif quand elle divise les deux autres angles des axes coordonnés.

Si les axes Ox, Oy, font l'angle 6, et que la droite

M'M'^ . . fasse avec Ox l'angle a, il est aisé de voir (64)

qu'on a

Y sina

•L- -^^2. =r CL •

X sin(ô-^a) '

c'est pourquoi a s'appelle coefficient angulaire. Quand il est donné, ainsi que l'angle Q des deux axes coordonnés, on peut en conclure l'angle a. On trouve aisément

. «sinO

tans a = •

° i-hacos©

Si les axes Ot, Oy, sont rectangulaires, le rapport a est simplement égal à tangtz \ nous l'appellerons, pour abréger,

\ inclinaison de la droite sur l'axe des x ; son inverse - est

l'inclinaison de la droite sur l'axe des r .

Les coordonnées x et y, considérées comme appartenant

DES LICBES DHOITES» 85

successivement à divers points d'une droite passant par Torigine, sont, dans tous les cas, des variables directement proportionnelles^ même lorsqu'elles sont de signes contraires.

3^. Si la droite n'est ni parallèle à un axe ni passant par V origine^ son équation est de la forme y = ax H- i, la constante a ayant la même nature abstraite et la même valeur en fonction des angles que dans le cas précédent, et h étant une longueur affectée d'un- signe 4- ou — , qu'on appelle V ordonnée à V origine.

Cela devient évident en traçant par l'origine une droite parallèle à celle dont il s'agit, et en remarquant que, pour une même abscisse, les coordonnées des droites diffèrent entre elles d'une longueur constante.

103. Dans le cas de T équation / = ax -H &> les variables x^jfj ne sont plus proportionnelles, mais leurs accroissements à partir de deux valeurs correspondantes quelconques sont dans un rapport constant égal à. a. En effet, si x et j", x' etj^', x" et y '',... 5 expriment deux à deux des valeurs simultanées satisfaisant à T équation de la droite, on a

y z= ax-h- b^ y = ox' -f- i, y^' = ax" H- i, . . . , et 1 on en conclut

f—y=a{x' — x), y"—y=za{x" — x),..., d'où

— T — ' — Tf — • • • — **•

Les différences x' — x, x'* — x, . . . , qui peuvent être positives ou négatives, s'appellent les accroissements algé^ briques des x^ et se représentent par la notation Ax. Les différences y^ — y y y" — /, . . . , qu'on représente par Ay, sont les accroissements algébriques des y, La propriété

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doril il s agit s écrit rioDc ainsi

(*t s'énonce en disant que les accroissemenis sùnulianés des variables xet y sont proportionnels.

Les sciences physîco-mathématîqnes offrent des cas nombreux d'nne pareille loi : par exemple la dilatation d^nn corps, c'est-à-dire son accroissement soit de Tolimie, soit de longueur, est, entre certaines limites, proportionnelle à son accroissement de température, tontes circonstances égales d^ailleurs.

i04. Dans un système d'axes déterminé, on peut toujours trouver une droite telle, que les constantes a, 6, de son équation, aient des valeurs données quelconcpes, positives ou négatives. Il suit de là que, réciproquement à la proposition précédente , dans un système quelconque d'axes coordonnés, une équation de premier degré Ay H- Bx -f- C = o entre les coordonnées x, y^ dans la^ quelle A et B sont des nombres ou des rapports donnés^ et C une longueur donnée, est toujours celle d'une ligne droite, qu'il est facile de construire, quels que soient les signes des constantes ud,B et C.

105. Trouver Véquation dune droite ayant une incUnaison donnée^ et passant par un point donné.

Soit a le coefficient angulaire résultant de l'inclinaison donnée, et soit b l'ordonnée inconnue à l'origine; les coordonnées Xy y, d'un point quelconque de la droite, satisferont à Téquation

(i) y = ax-\-b.

Les coordonnées x\y'^ du point donné, doivent satis-