DU CERCLE
En effet ^ celte équation peut se mettre sous la forme
ou
/ Dy / Ey IP E" „ .
d'où Ton conclura que les coordonnées du centre et le rayon sont
Il y a impossibilité si p est imaginaire, c'est-à-dire si l'on a
Si ¥•=. o, la courbe passe par l'origine.
113. On détermine facilement les intersections du cercle précédent avec les axes, avec une droite donnée, ou avec un autre cercle (107 ) .
114. Trouver le lieu des points M [fig* 24) dont les distances MA , MB , à deux points fixes  , B , sont dans un rapport constant rn m.
Soit AB = a : on a, relativement aux axes Ax et A y,
MA*=rj*-ha:% MB*=j«-|- (x — r/)*5
MA«:MB'::/n»:w*;
d'où l'on conclut
Si m =: «, Féqualion se réduit à x = -» el exprime une ligne droite perpendiculaire à AB.
gi ÉQUATIONS DE l'eLLIPSB,
Si m dififère de n^ l'équaiion est celle d'un cercle
1 i 5. Trousser le lieu géométrique des points M , M', M'"^
[fis- ^^)9 '^^' ^^^ ^ distances AM, AM\ AM'', â un point fixe A, 50/it réciproquement proportionnelles aux distances AN, AN', AN'', les points N, N', N", étant sur une droite. En d'autres termes, il faut que le produit AN. AM soit constant, quelle que soit la direction ANM. On prend Taxe Kx perpendiculaire à la droite NN". Soient AB = a et AN . AM =: ab -, on a
'AM=^j:'+j* et AN:AM::a:x,
d'où , en multipliant les deux premiers termes de cette pro portion par AM, et substituant pour AN. AM et AM' leurs valeurs , on conclut
ab Ix^-i-y* Il alx.y ou x*-hj^'= ia:,
équation d'un cercle. On vérifie très-aisément cette propriété du cercle par la similitude des triangles ANB, AMD.
§ IV. ÉQUATIONS DE l'eLLIPSB , DE l'hYPERBOLE ET DE LA PARA BOLEy DÉDUITES DES PROPRIÉTÉS FOCALES DE CES COURBES.
116, L'ellipse a été définie au n^ 96, P"^ exemple.
Soient F, F', les foyers {fig, 26) •, p, p\ les rayons i;ecteurs dont la somme constante est 2 a. O, milieu de FF', est le centre. Si l'on prend OA = OA' = A , les points A et A' appartiennent à la courbe ^ car, pour le point A , par exemple , on a
AF + AF'= (a — FO) -h (a + OF') = aa.
P0signant FF' par a c , on a nécessairemeiit a ]> c , car
DE l'hyperbole ET DE LÀ PARABOLE. 9^
un quelconque des triangles tels que FMF' donne
FM-f F'M>FF', ou aa>2c.
c OF , Le rapport - ou ^r-. s'appelle excentricité^ A A' et CC sont
les axes principaux , savoir :
grand axe AB = 2 a , petit axe DC = 2 V'^* — c' •
117. Cherchons Téquation de l'ellipse rapportée à ses deux axes principaux pris pour axes coordonnés : T équation aura ainsi sa forme la plus simple, pui'sque la courbe est symétrique relativement aux deux axes. L'un des rayons vecteurs étant désigné par p, l'autre est 2 a — p, et l'on a , d'après la figure,
et
Il ne reste qu'à éliminer p : on a par soustraction
ex \ap — 4û' = 4^^9 d'où p^za-^ î
et en substituant cette expression de p dans l'une ou l'autre des équations précédentes ,
a* -h ^ = j* -h c» 4- j:% ou bien
118. L'hyperbole a été définie au n° 96 , IP exemple. Soient les foyers F, F' [fig^ 27) 5 les rayons vecteurs p,
p', dont la différence constante est 2 a. Le milieu O de FF' est le centre. Soit la distance des foyers FF'= 2 c. On voit par le triangle FMF' que l'on a a <^ c.
Si Ton prend OA = OB = a , les points A et B appar-
94 ÉQrATIOMS DE l'eLLIPSE^
tiennent à la courbe. La distance AB = 3 a s'appelle Y axe transversc.
La courbe n'a pas de point sur Oy perpendiculaire à ÂB.
119. Cherchons Téquation de Thyperbole rapportée à ses axes principaux, c'est-n-dire aux axes coordonnés rectangulaires O X , O y , dont l'un passe par les deux foyers , et l'autre par le centre. L'un des rayons vecteurs étant représenté par p, l'autre l'est par =t (p — a a) , et l'on a
Ces dernières équations, étant algébriquement les mêmes
ex
qu'au n° 117, donnent la même valeur de p = a H et la
même équation finale qui , à cause de a <[ c , doit s'écrire sous la forme
120. En faisant, dans l'équation (n** 117) de l'ellipse, €7* — c' = A% et dans celle (n**119) de l'hyperbole, c* — a* = J', on a pour l'ellipse
a'r^-l- i* x'=:a'i% ou v-f.^ = i,
et pour l'hyperbole
a'r' — ft*j:* = — a^b^. ou t- = — i.
121. Réciproquement toute équation en coordonnées rectangulaires, de la forme
est celle d'une ellipse dont les axes sont *ip selon les a:, et 9.^ selon les j; l'axe contenant les foyers est le plus grand des deux.
DE l'hyperbole ET DE LA PARABOLE. g5
Toute équation de la forme
est celle d'une hyperbole, l'axe transverse étant ip ou 2q selon que le second membre est positif ou négatif, c'està-dire selon que l'axe des x rencontre ou non la courbe.
122. Etant donnée l'équation d'une courbe, on peut en déduire toutes les propriétés de cette ligne. C'est ce qu'on appelle discuter une équation. On ùe s'attachera ici qu'aux conséquences les plus immédiates des équations de l'ellipse et de l'hyperbole.
De l'équation de T ellipse
on conclurait, si on ne le savait déjà ,
1^. Que l'origine est un centre^ c'est-à-dire le milieu de toutes les cordes passant par ce point : car, si a: et j* sont les coordonnées d'un point, les coordonnées — x et — y d'un point diamétralement opposé satisfont également à l'équation ;
2°. Que chacun des axes coordonnés coupe eu leurs milieux les cordes parallèles à l'autre : car, si a? et j^- sont les coordonnées d'un point, les deux autres points dont les coordonnés sont — x et y pour l'un, x et — j pour l'autre , sont également sur la courbe *,
3^. Que les longueurs des parties des deux axes coordonnés interceptées dans la courbe sont ap sur l'axe des x et 2q sur l'axe des y : car, en faisant y =zo^ on trouve X = ±p'^ et pour X = o , y = zh y .
En résolvant l'équation par rapport à l'une des varia-
96 ÉQUATIONS DE l' ELLIPSE,
bles , y par exemple , ou a
Le facteur ^p* — x^ ou ^[p + x) (p — x) est une moyenne proportionnelle entre les deux segments p -(-x, p — a: du diamètre 7, p. Ce facteur est donc égal à Tôrdonnée rectangulaire répondant à l'abscisse x dans le cercle qui aurait son centre à l'origine et le diamètre np.
Donc, pour une même abscisse, V ordonnée de V ellipse rapportée à ses axes pri/icipaux est à celle du cercle décrit sur Vun de ses axes^ comme diamètre^ dans le rapport constant de Vautre axe à ce diamçtre. De là résulte un moyen de construire Tellipse par points.
123. On conclut de cette propriété que toute ellipse peut être considérée comme la projection orthogonale ou obli-que d^un cercle sur un plan , et tout cercle comme la projection de diif erses ellipses ayant un axe commun; considérations fécondes en conséquences intéressantes concernant les cordes supplémentaires, les diamètres conjugués, les parallélogrammes circonscrits.
Une ellipse^ dont les diamètres principaux sont 2 a et 26, peut être regardée comme la projection orthogonale d'un cercle dont le diamètre serait ^a, et dont le plan ferait avec
celui de Tellipse un angle ayant pour cosinus le rapport -•
Le centre O' de l'ellipse [fig* 28) est la projection du centre O du cercle.
Imaginons dans le cercle un diamètre quelconque AB et les deux cordes AC et CB, formant Tangle droit ACB. Menons les diamètres FG et HI, qui passent par les milieux D, E de ces cordes. Chacun de ces diamètres partage en deux parties égales toute corde parallèle à l'autre : ainsi FG passe au milieu de MN, parallèle à HI, et HI passe au mi-
bE L^HYPËRBOLE ET DE LA PARABOLE. 97
lieu de NL, parallèle à FG. EnCn, les tangentes en F, G, H et I forment un carré PQRS.
Maintenant, considérons dans le plan de l'ellipse tous les points et les droites qui sont les projections des points et des droites dont nous venons de parler, et désignons-les par les mêmes lettres accentuées.
Les cordes Â'C et C'B^ qui partent d^un même point C de la courbe et aboutissent aux deux points A' et B', diamétralement opposés, s'appellent cordes supplémentaifes. Elles jouissent de cette propriété que si par le centre O' on mène les droites HT et F'G' parallèles à ces cordes, chacune de ces droites partage en deux parties égales toute corde parallèle à Tautre. Par cette raison, on dit que F' G' et H'I' sont deux diamètres conjugués >
Enfin, au carré circonscrit PQRS répond en projection un parallélogramme P'Q'R'8' circonscrit, dont les côtés sont parallèles aux diamètres conjugués j et il est remarquable que tous les parallélogrammes circonscrits a rellipsê ont leur aire constante et égale à 4^^- En effet, il est aisé de démontrer, comme on le verra au n^ S^O, que Taire de la projection orthogonale d'une figure plane quelconque est égale à l'aire de cette figure dans l'espace multipliée par lô cosinus de l'angle des deux plans : donc l'aire P^Q'R'S' est
égale à l'aire PQRS multipliée par -; c'est donc 4^' - ou
• o et
J^ab,
124. On à vu, aux n*** 14 et l5, qu'en cherchant l'équation d'une courbe définie par une propriété géométrique^ on peut reconnaître l'identité de la courbe avec une ligné connue par d'autres propriétés. En voici un autre exemple^.
L'angle y Ôx étant droit (/îg^. 29), uiie droite AB, d'une longueur déterminée, est assujettie à se mouvoir, de manière que l'extrémité A soit toujours sur Oy, et l'extrémité Bsur Ox. Cherchons l'équation de la courbe décrite par le
98 ÉQUATI05S DE L* ELLIPSE,
point M de la droite, dont la distance aux extrémités A, B, sont les constante:» a^b.
On a
