DE L HYPERBOLE ET DE LA. PARABOLE

127. Ce lemme s'applique a réquation de Thyperbole, et démontre qu'à mesure que F abscisse de cette courbe croit, son ordonnée diffère aussi peu qu'on veut de Tordonnée qui, ayant la même abscisse, appartient à Tune des droites exprimées par Técpation

Ces deux droites, donl les branches de la courbe s'approchent autant qu on veut à mesure qu'on les prolonge, sans que les droites et la courbe puissent jamais se confondre, s'appellent asymptotes de l'hyperbole. Elles se construisent au moyen des deux demi-axes a, b. Toute droite parallèle à une asymptote ne rencontre la courbe qu'en un point, car il n'y a qu'un système de valeurs de x et de jqui satisfasse simultanément à deux équations telles que .

en effet, en élevant la deuxième au carré, et retranchant la première, on trouve

j:: H- jS* -f- i* = o,

d'où l'on tire une valeur unique de x.

Lorsque les demi-axes a et A de T hyperbole sont égaux, l'équation est j* — x* = — a*. Les asymptotes, exprimées par l'équation j^ == ziz j:, font un angle droit, et l'hyperbole est dite équilatère.

Il est aisé devoir que toute hyperbole peut être considérée comme la projection orthogonale ou oblique d'une hyperbole équilatère.

128» Nous avons obtenu une équation simple du cercle (111) en plaçant l'origine sur la circonférence et en faisant

lOO ÉQUATIOHS DE l'eLLIPSB,

passer l'an des axes par le centre. Faisons la même chose pour Tellipse et pour l'hyperbole, en prenant Torigine à une extrémité de Tun des axes principaux de l'ellipse et de Taxe .M*ansYerse de l'hyperbole.

L'équation de l'ellipse peut s'écrire ainsi, quand Forigine est au centre O {fig^ 3o) :

Or [a'^x)(a — x) est le produit APxPA' des deux segments du diamètre AA^ déterminés par l'ordonnée MP; il est évident que, si l'origine des coordonnées était en A, AP serait exprimé par x, et PA par 2a — x. L'équation de Tellipse serait donc

r' = -:(2ax — X*).

De même, Téquation de Thyperbole, quand rorî'gine est au centre et Taxe des x suivant l'axe transverse, peut s'écrire ainsi :

(x — a) (x -h a) est le produit des deux distances AP, AT (fis* 3 1), du pied de l'ordonnée aux deux sommets A et A'. Or, si rorigine était en A, les x positifs restant du même côté, AP serait exprimé par x et A'P par aa-f-x : l'équation de l'hyperbole serait donc

Les équations de l'ellipse et de l'hyperbole sont donc renfermées dans la formule

y^ -+- wx* = ^px

qui exprime Tune ou l'autre suivant que m est positif ou négatif.

DE l'hyperbole £T d£ LA PARABOLE. lOl