Si Ton change j en Xy et x en y, Téquation

x^ X* = %py ou • j' = —

est celle de la même parabole (si y? a la même valeur)., mais autrement située. Il en est de même des paraboles dont les. équations sont

y^z=, — 7.pXy j = — — .

132. En rapprochant Téquation de la parabole y* = 'xpx de celle de la fin du n** 114, on voit que l'équation..

y^ -H mx* = 'i'PX

exprime Tune ou l'autre des trois courbes que nous venons

I02 ÉQVATIOKS DE l' ELLIPSE , DE l'bTPERBOLE , ETC.

d'étudier, selon que le coefficient abstrait m est positif, négatif ou nul.

Quelle que soit la valeur de m, le coefficient linéaire 2p de X s'appelle le paramètre de la courbe. Si c'est une des deux courbes à centre, on a ( 128)

^P = — .= ^—^ '^ a ia

c'est-à-dire que le paramètre est une troisième proportionnelle à l'axe selon les abscisses et aii second axe, tandis que

m est égal à =h— , et par conséquent a ±^» L'équation

précédente peut donc être écrite ainsi :

jr^zt,^ X* = 7.pX,

Cela posé, dans le cas où l'on ne voudrait considérer qu'une portion de la courbe, voisine du sommet situé à l'origine, il peut arriver que a soît tellement grand par rapport à /!? et à la plus grande valeur de x, que le terme ^ x*

soit à négliger auprès de 2.px. .Si, par exemple, on fait a = I oooooo™ etp= i , d'où b = ypa = looo, on aura

y* = 2X dt 0,000001 X*.

Or, tant que x sera assez petit, par exemple inférieur à i",

le terme en x* pourra être négligé, et y' calculé d'après la

formule

j * = 2X ou y* = ipx^

comme si la courbe était une parabole. Telles sont les ellipses que les comètes décrivent autour du soleil comme foyer, tant qu'on n'en considère que les parties les plus rapprochées de cet astre.

C'est pourquoi Ton dit qu'une parabole est une ellipse

ÉQUÀTIORS DES SECTIONS CONIQUES lo3

(et Ton peut dire aussi une hyperbole) dont les axes deviennent infinis, tandis que leur troisième proportionnelle

-^— ou 2» reste linie.

133. L'analogie des trois courbes résulte aussi de l'expression du rayon vecteur en fonction de l'abscisse dans l'ellipse et l'hyperbole. On a (117) et (118)

ex

ellipse si c<^a, hyperbole si c^a.

Cette équation peut s'écrire :

P = âr"^7)'

c'^st-à-dire que le rayon vecteur est à Tabscisse, augmentée

de la constante —9 dans le rapport constant de c à a ; de

sorte que, si Ton prend à partir du centre O [fig* 33), du

côté des X négatifs, une dislance OH (ou OH') égale à — ?

et si Ton élève sur OH la perpendiculaire HK appelée directme^ le rayon vecteur FM, joignant le foyer à un point quelcoaque M de la courbe, sera à la distance MR (ou IVIR') , du poim M à la directrice, dans un rapport constant, < i si la cou?be est une ellipse, ]> i si c'est une hyperbole. De là une détnition commune aux trois courbes étudiées dans ce paragraphe.

134. L'eT.ipse, l'hyperbole et la parabole,* sont depuis longtemps ccinnues sous la dénomination commune de sections coniques^ parce qu'on les obtient en coupant par des plans un cône à base circulaire. Cette propriété est comprise dans une proposition plus générale démontrée dans l'un des

I o4 ÉQUATIONS

paragraphes suivants. Nous ne considérerons ici que le cas où les plans coupants sont perpendiculaires au plan prin^ cipal d'un cône oblique.

On appelle plan principal celui qui passe par le centre de la base circulaire du cône et par la perpendiculaire menée du sommet sur le plan de cette base. Les droites suivant lesquelles il coupe la surface conique sont les génératrices principales.

Soient SA, SB [fig- 34) 9 ces deux droites, et prenons le plan principal ASB pour plan de projection orthogonale.

Soit A A' la trace et la projection du plan coupant^ c'est aussi la projection de la courbe d'intersection.

Faisons AA'=?= 2 a.

Soient AB et A^ B' deux droites parallèles à la base circulaire du cône : ces droites sont les projections.de deux cercles situés sur la surface conique et ayant AB et A'B' poi^r diamètres.

Faisons AB =3 2 r, A' B' = 2 r'.

Soit P le pied et la projectiop d'une ordonnée y qiiel-r conque de la courbe d'intersection. Prenons AA' pour axe des abscisses ayant leur origine en A. Ainsi AP =^a:, A'P = 2a — JC.

Menons par P la droite QQ' parallèle à AB : elle est le diamètre d'un cercle dont y est également l'ordonnie pro-r jetée en P. IJonc on a

j* = PQxPQ'.

Or, du parallélisme des droites AB , QQ' et A'^^B', résultent les relations

PQ=AB.^=.r. ^^ P9' = A'B'.^=.r'.f^:

DES SECTIONS CONIQUES. Io5

donc 9 en substituant , on a

j«=^(2flj: — X*), ou y=-(2aa: — x'),

en faisant rr' r=. ft*. C'est l'équation d'une ellipse (128).

135. Supposons maintenant que le plan coupant PAA rencontre les deux nappes du cône {^fig* 35). On aura de même *

y=PQxPQ',

PQ'=AB'.-^=ar'.;f--,

d^où

rr^

ou

j'=-;(2aX-+'X'),

a équation d^une hyperbole.

136. Tant que le plan coupant passant par A rencontre la seconde génératrice SB dans la même nappe où est le point A de la première, la section est une ellipse, courbe fermée; si la rencontre A' est dans l'autre nappe, la section est une hyperbole composée de deux parties séparées , qui s'étendent indéfiniment dans les deux nappes.

Il reste à considérer la position intermédiaire où le plan coupant AP est parallèle à la seconde génératrice principale (/g'. 36).

Soit encore AB = 2 r, et de plus SB == 2 /.

jf étant toujours l'ordonnée projetée en P, commune à la

iu6 ÉQUATIONS DES SECTIO^S COHIQCES.

courbe projetée eu AP et au cercle projeté en (^^'i on a j'=PQxPQ', PQ=AB=ar, PQ'=AB.^ = ar.f,,

d'où

C'est réquatioii d'une parabole.

On voit que c'est la courbe dont s'approche de plus en plus Tellipse ou Thyperbole d'intersection , à mesure que le point A' s'éloigne du sommet du cône, Undis que le point A reste constant. L'équation de la parabole peut se tirer de celles des deux autres courbes d'après cette considération. Pour cela, écrivons ces équations sous la forme

, 2rr' rr' ,

A mesure que A' s'éloigne, le rapport — ou .., - approche

de la valeur -rj^ ou j ^ ainsi le coefficient de x approche de

la valeur finie -y- j tandis que celui de x*, différant aussi

r' I peu qu'on veut de -j • -9 approche de zéro.

137. Parmi les sections elliptiques, un cas remarquable est celui où le plan coupant est anti-parallèle au plan de la base circulaire, c'est-à-dire que le plan coupant AA [fie' ^7) ^^^^ ^^^^ ^^^ génératrice principale SA un angle SA A' égal à l'angle SB A que l'autre génératrice SB fait avec la base circulaire AB.

Dans ce cas, les triangles semblables AA'B, AA'B', don-