DES DIFFÉRENCES FINIES. III

dont les différences , qui sont les différences troisièmes de la suite des y^ sont désignées par

et ainsi de suite ( * ) .

On remarquera que , y étant une fonction explicite de x^ Ajo est une fonction de x^ et de d\ que Aj-, , Aj^, , . . . , n'en diffèrent qu'en ce que ar© est remplacé par jri , Xj , . . . , ou Xo -f- <î> Xo -f- a d , . . . 5 que A'y^ est de même une fonction de Xo et ^, et que A'j^t , ^V*'- • •' ^^^ diffèrent qu'en ce que Xf^ est encore remplacé par a?, , Xj , . . . , ou x^,-f- d, Xi -I- 2 J, . . . -, et ainsi de suite pour les différences de tous les ordres.

Si on supprime les indices de j^, on entend par Aj*, A' j^, ... 5 des fonctions de x et de cî dans lesquelles il ne reste qu'à substituer au lieu de x les valeurs x©, Xo-t- J, Xo-f- 2 J, . . . , pour avoir les suites ci-dessus indiquées.

143. La différence première d'un polynôme est évidemment égale à la somme des différences premières de tous les termes^ et si l'un de ces termes est constant, il disparait dans la différence première.

La différence première d'un monôme hx"" est

h(x-^dY—hx"' = hmdoir''^ ^"^^^^~^^ d^x"'-\.,,

c'est-à«dire un polynôme du degré m — i en x. Ce serait la constante hd s\ m était = i .

( ^ ) Les chiffres 2 , 3 , . . . , à la suite et en haut de A ne sont pas des exposants; A'r équivaut à AA^, c'est-à-dire qu'il est l'accroissement de l'accroissement de j', et si Ton voulait exprimer le carré de A/, on écrirait (Ar)'f ou plus simplement Aj^*. Quand on considère y* comme fonction d'une variable x, son accroissement résultant de ce que x devient x + A x est désigné par A ./'.