BES DIFFÉRENCES FINIES. I I

Soit, parexeuiple,

Puisque nous savons que j^ est du troisième degi^, posons

j=:jix^-hBx^-\- Cx H- D.

En mettant x -{-d au lieu de x dans ce polynôme , on a une expression de j- H- Ay; on en conclut par soustraction celle de

Aj = 3 y^X^ d^iyixd^-h ^(J»

et pour que cette dernière soit identique à celle que nous avons supposée donnée^ il faut et il suffit que l'on ait, en égalant les coefficients des diverses puissances de x,

<x[uations du premier degré , d'où Ton tirera toujours les valeurs de u4 ^ B elC^ la constante D restant arbitraire.

149. Voici un emploi utile de ces considérations. Reprenons, avec les significations indiquées au n^l42, les deux suites

Jo ft J. yi---Jn.l Jn

^y» Ar« Ar« Ar»^'-

Ua terme quelconque de la première dépend de l'un de ceux qui précèdent et des différences intermédiaires , suivant la loi très-simple indiquée par la formule

(2) r«— Jo= ^^0+ Aj,-t- Aj-,4-. . .-h Aj'„..

Ii8 CALCUL DES OlFFÉaSHCES FINIES.

n suffira donc de savoir calculer la différence j^„ — jr^ pour obtenir la somme des n termes du second membre.

Si Ajr est une fonction connue du second degré en x, et qu'on se donne en outre la valeur de d, on calculera, au moyen des équations (i) , les coefficients ^ , B et C, et, par conséquent , la différence

y.-j, = ^{xl-x\) + B « -xD + C (X.- X,).

Exemple. Soient Ajr:= (px-hi^j i==i et Jtro = o, par conséquent x^ = 71. Le second membre de la formule (2) devient , dans ce cas ,

(3) ,«+(;,^.|)»^-(2;;^-I)«-h...^-[(« — i);.-hi]^

c'est la somme des quarrés des n termes d'une progression

arithmétique dont le premier terme est i et dont la raison est^.

Or, puisqu'on a en général

fonction du second degré comprise dans la formule

A y = ax^ -}- Jx -h c ,

on trouvera l'expression correspondante et générale de j en faisant, dans les équations (i) ,

az=zp*^ bz=i:tp^ c=i et J = i.

Les équations (i) donnent en effet

ainsi

j = ^[2p'x'-{-ip{i — p)x'-h(6—6p-hp')x]^I),

COURBES HYPERBOLIQUES. Jig

et, par conséquent, /»— Jo = g [î^P'/»*-+- 3^(2— p) «4-6 — 6p +;?«];

c'est la valeur cherchée de la suite (3).

Cas particuliers. i^.p = i, La suite (3) est alors la somme desquarrés des nombres consécutifs depuis i jusqu^à n , et Ton a cette somme

I + a'-h 3*-h. . .-hn*= g n (» -m) (2/1— i).

2^. p = 2. La suite (3) devient la somme des quarrés des nombres impairs consécutifs depuis i jusqu'à 2/1 — i , et Ton trouve sa valeury„ — j^oi

i-h3'-+-5» + ...-h.(2n — i)»= i/i(2/ï — i)(2«-Hi),

ou, en faisant 2 n — 1 = ^9

Ces dernières formules ont leur application dans les calculs relatifs aux ponts suspendus.