L'équation jr == -- lorsque m est entier appartient

à des courbes dites hyperboliques.

Soient d'abord m = i et r = — . La courbe s'étend infi-

nimentdans l'angle y Ox et dans son opposé au sommet^ sa construction graphique (fig. 4^) annonce une hyperbole dont Ox et Oy sont les asymptotes. C'est ce qu'il faut vérifier en prenant pour axes rectangulaires les droites OK et OY, dont l'une divise l'angle y Ox en deux parties égales, désignées chacune par a. On a, en désignant par X et JTles nouvelles coordonnées du point quelconque M ,

jr = a:cos(xX) •+-7cos(yX) = Jîcosa -f-^cosa :

i20 COURBES HYPERBOLIQUES.

d'où

•^ COSa

r = xcos(xY) -i-jrcos(yY) = — xsina-i- J'sina; d'où

siria

On pourrait cherchera* et y pour les substituer dans J?^ = /* ; mais on n'a besoin que du produit xy \ les équa tions ci-dessus donnent

x'-f- a.ry-l- r'=: — — , x' — axr-h y*= -t-t-^ d'où

^ eos'a sin*a Téquation xy = /' se transforme donc en

jy^ y^

ce qui exprime une hyperbole , dont Taxe transverse est 4/cosa = 2OA.

Si les axes Ox, Oy sont rectangulaires, on a

ina = cosa = - ^,

sin

et l'équatîon en X, Y^ devenant JT* — 1^== 2Z', exprime une hyperbole équilatère.

L'équation xy -\- ax -\- hy =^ c ^ pouvant s'écrire ainsi

se ramènerait évidemment, en transportant les axes parallèlement, à la forme Xy=d. Elle exprime donc une