L'équation -^ := m log - est encore celle d'une

courbe semblable à la précédente, mais non semblablement placée par rapport à Taxe des x, car elle donne

ma d'où

= loff ( -^ . /// 1 = log h \osm ,

^\ma J ^ ma ^ '

y—am\o%m j ^ ma ^ ma

donc , en élevant Forigine de la longueur am logm sur Taxe des y^ et appelant les nouvelles coordonnées JT, X,on a

=rlog

tna ma

ce qui prouve la proposition énoncée.

155. La courbe dont l'équation est - = m" est également une logarithmique; mais elle a pour asymptote Taxe des X négatifs (fig' 43). Car on a

loff- = - logm:

d'où

156. Sinusoïde. Si sur Ox {fig. 44) ^^ porte les abscisses OP, OP', OP'', . . . , égales aux arcs de cercle A m , A w!y A m'', et qu'on fasse les ordonnées PM, FM', V"M\ . . . , de même longueur et de même sens que pm, p'm', p"m"y . . ,

124 COL'iVBES TRAHÎSCEMDAATES.

la courbe OMIV^JVl'^ . . aura pour équation

= rsin(f)

le rayon du cercle générateur étant r; et alors Faugle -

n'est pas exprimé numériquement en degrés sexagésimaux, mais par le rapport de l'arc compris entre ses côtés au rayon avec lequel il est décrit.

La forme générale de la coiirbe est facile à discuter.

157. Cycloide. Si un cercle roule sans glisser sur une droite, en restant dans u^i même plan, la courbe que décrit un point de sa circonférence s'appelle une cycloïde

{fis- 45).

Soit AmB le cercle générateur dans sa position initiale. Soit LMK une autre position quelconque. Supposons que le point décrivant soit en A sur le premier cercle et en M sur le second. Par la définition , on a

arcLM = AL.

Or, si Mm est parallèle à AL, on a

Am = LM, mM = AL;

douQ

mM = arcAm.

De même

m' M' = arc A ra' ^ etc.

En général , on a j^ = j: pour une équation de la courbe , en appelant x V abscisse curviligne Am, portée à partir du point A sur la circonférence A m B, et y l'ordonnée mM parallèle à l'axe AE. Si entre ces mêmes variables l'équation était y =z ax ^ la cycloïde serait allongée ou raccourcie selon que la constante a serait ]> ou <^ i .