Soit ON = /, donnée 5 le rayon vecteur OM = p
variable. Soit — ^ — = 9^ ce rapport 6 de Tare variable am
à son rayon est Texpression analytique de Tangle aOm. D'après la définition de la courbe, on a p:/::d:a7r ou 2 7rp = /6, équation cherchée dans laquelle les variables p et Q sont les coordonnées polaires de la courbe.
170. La courbe dite déx^eloppante du cercle, utile en mécanique, est étudiée dans le Cours de Géométrie descriptive.
§ VII. TRANSFORMATION DES COORDONNÉES, APPLIQLÉE AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ.
161. Les équations des courbes dont nous venons de nous occuper ont été obtenues sous des formes simples, par suite du choix convenable de la position des axes coordonnés. De même que Téquation du cercle (95 et 96) est plus compliquée lorsque le centre a une situation quelconque que lorsqu'il est à l'origine des coordonnées, de même il est évident que les équations de l'ellipse, de l'hyperbole et de
126 TEANSFORMATIOBi DES COORDONKÉES
la parabole, seraient moins simples si les axes étaient pris arbitrairement et faisaient un angle quelconque. Mais il est important de constater :
i^. Que dans tons les cas les équations de ces trois courbes exprimées en coordonnées parallèles à des axes sont du second degré, cVst-à-dîre toujours comprises dans la formule générale
Ây^ -h Bxy -+- Cx* 4- Dy -h Ex -4- iF = o ;
tP. Et que réciproquement une équation du second degré en coordonnées parallèles à des axes ne peut exprimer une autre courbe que Tellipse (dont le cercle est un cas particulier), l'hyperbole ou la parabole.
La démonstration de celte double proposition dépend d'une méthode générale qu'on appelle la transfonnation des coordonnées.
162. Soient Ox, Oy {fig* 47)9 l^s axes donnés quelconques auxquels est rapportée une courbe dont l'équation est F [x^y) = o\
Soient O'jc', O'y'^ les axes également donnés relativement auxquels on se propose d'obtenir l'équation de la même courbe \
Soient aeib les coordonnées OA, AO', de l'origine O' relativement aux premiers axes.
M étant un point quelconque de la courbe, ses coordonnées X eiy sont OP et PJVI, tandis que ses coordonnées x' et y^ sont O' F' et P'M'. Il est aisé d'exprimer par des équations les relations qui existent entre les quatre variables or, y^ x\ y\ les constantes a, i, et les angles des axes entre eux. Il suffit de remarquer que la ligne brisée OPM, composée de X et à^y^ et la ligne brisée OAO'P'M , composée de rt, 6, x' et y', sont deux contours polygonaux conduisant du point O au point M , et que par conséquent leurs
DES COUBBES DU SECOND DEGRÉ. l^J
projections sur une même droite sont égales (22). Nous bornant ici à considérer les projections rectangulaires, nous pouvons appliquer le théorème du n^ 46 ; et afin d'obtenir séparément les expressions de x et de j" en fonctions des quantités x',/', a, i, et des angles, nous prenons successivement pour axes de projection, d^ abord la droite OX perpendiculaire à Oy, puis la droite OY perpendiculaire à Ox. La formule ci-dessus devient, dans ces deux cas (en remar* quant que les cosinus des angles d'une droite avec OX et avec OY sont les sinus des angles de la même droite avec O y et avecOx),
X sîn (x, j) = a sin (x, y) -h x' sin (x', y) •+-/' sin (y', y), jsin(y, x) = bsin (y, x) -hx'sin (x'>x) H-r' sin (y', x),
d'où
^ ^ . ^^sin(x^y)H-/sin(y^^)
sm(y, x)
, ^^sin(x^x)-h/sin(y^x ) ^ sm(y, x)
163. Les coordonnées x^y^ ^\j% ^'^^^ même point de la courbe considérée, satisfont simultanément à Téquatiou F (a:,j^) = o et aux deux formules finales du numéro précédent 5 donc si Ton substitue k x et k y dans Téquation F (x^y) = o Jeurs expressions données par ces formules, on aura une nouvelle équation qui sera également satisfaite, et qui, ne renfermant plus d'autre variable que x' et 7', sera Féquation de la même courbe rapportée aux axes Ox', Oy'.
164. Si l'équation F (x^y) = o est une équation algébrique du m'*'"' degré, c'est-à-dire qui puisse se ramener à la forme -
-^Z*" 4- (fix + C)/'""* 4- (/>:r' + £'x -f- jP) j'»-' 4- . . . = o,
la plus grande somme des exposants de .r et de y dans un
