TRANSFORMATION DES COORDONNÉES

même terme étant le nombre entier /w, Féquation transformée en nouvelles coordonnées x', y\ ne sera pas d'un degré supérieur au tji''""^ puisque les valeurs de x et de j^ à substituer dans la première équation sont du premier degré. L'équation transformée ne sera pas non plus d'un degré inférieur au m'''"", car il faudrait, pour que cela fût possible, que le degré pût s'élever quand on reviendrait des nouveaux axes aux anciens.

Ainsi, à quelques axes coordonnés qu'on les rapporte, les équations de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole, sont toujours du second degré.

165. Pour établir la réciproque de cette proposition, nous prendrons Téquation la plus générale du second degré à deux variables :

(i) Ay''-^Bxj-^Cx^^Dj-\'Ex-^F=zo^

et nous supposerons que les coordonnées a: et j^ sont rectangulaires, en remarquant que, s'il en était autrement, on pourrait, par la transformation, obtenir pour la même courbe rapportée à des axes rectangulaires une équation différente, mais toujours du second degré.

Nous remarquerons, en second lieu , que si le terme Bxy^ n'existait pas dans l'équation , une transformation pareille à celle du n° 112 réduirait facilement l'équation à trois termes. Proposons-nous donc de faire disparaître de l'équation le produit xj en changeant la direction des axes, mais en les conservant toujours rectangulaires et sans changer l'origine des coordonnées.

Dans ce cas particulier, les formules finales du n** 162 se simplifient : on a

a = o, i = o, sin(y,x) = i, siii (x', y) = ces (x', x),

si» (y'-» y) = — siij(x', x), sin (y', x) = cos (x', x) ;