DES COURBES DU SECOND DEGRÉ

et si, pour abréger, on remplace Tangle (x', x) par a, les formules de transformation deviennent (telles qu'on aurait pu les obtenir directement par la théorie des projections)

a: = a:'cosa — ^'sina, y =z ar'sina +j-'cosa.

Mettant ces expressions de j: et de j^ dans Téquation (i)^ on obtiendra une transformée du second degré, de la forme

{9-) Ay^ -h i? Vj'-h C'a/*+ D'y'^ £'x'^-F= o;

dans laquelle les coefficients A', B', . • • ? renfermeront l'angle a. Il s'agit de choisir cet angle de manière que B' soit nul. Or, en réunissant les termes en x' y' qui proviendront de la substitution , on trouve

B' =^[A — C) sînacosa + i?(cos*a — sîn*a),

B =z[A — C) sin2«-f- jDCOsaa.

Cette quantité serait nulle indépendamment de a si Ton avait à la fois A^=^ C elB =±o^ auquel cas il est aisé de voir (112) queTéquation (i) en coordonnées rectangulaires iserait celle d'un cercle.

Dans tout autre cas, il faudra, pour faire disparaître le produit x'y^ satisfaire à l'équation

{A — C) sinaa -I- JScosaa = o,

d'où , en divisant par [A — C) cos 2 a ,

tangua == ^ ■>

Comme la tangente d'un angle qui passé de zéro à 180® prend toutes les valeurs entre H- oo et — 00 , il s'ensuit qu'on trouvera toujours un angle a , mais Un seulement, plus petit que 90^, satisfaisant à la condition proposée. Il y a donc toujours un système d'axes rectangulaires (et il n'y

l3o . TRANSFORMATION DES COORDONNÉES

en a qu'un, sauf le eas du cercle) pour lequel réquatiou d'une courbe du second degré se réduit à la forme

166. II. reste à compléter la transformation de cette équation pour la réduire à trois termes. Il faut pour cela distinguer le cas où aucun des coefficients A\ C n'est nul, et celui où l'un des deux disparait. Ils ne peuvent être nuls tous deux , puisque l'équation doit rester du second degré.

Dans le premier cas, l'équation peut s'écrire ainsi :

Cela posé, il est toujours possible de transporter les axes parallèlement à eux-mêmes en O'^x", 0"y", de manière que, x" et y" étant les coordonnées d'un point de la courbe dans ce second système d'axes rectangulaires, on ait

car il suffit et il faut pour cela que les coordonnées de la nouvelle origine par rapport aux axes Ox', Oy', soient ,

l'abscisse — r^? et Tordonnée — -jj-

En faisant, pour abréger,

l'équation de la courbe se réduit définitivement à

Faisons maintenant toutes les hypothèses possibles sur les valeurs des constantes ^', C, F' ,

1°. Si elles étaient toutes trois de même signe, Féqua" tion serait impossible à réaliser.

DES COURBES DU SECOND DEGRÉ. l3l

2°. Si JP' était nul , et A' de même signe que C, Téqualion ne serait satisfaite que par ar =.o , j^ = o , elle exprimerait un seul point , devenu l'origine par la dernière transformation .

3**. Si, jF' étant nul, A^ et jB' étaient de signes contraires, l'équation, réduite à la forme

y^^=s.K} x^ ou j"=,'±L Kxy

exprimerait deux droites passant par Torigine, et situées symétriquement par rapport aux derniers axes.

4^. Si A' et C ont un même signe, contraire à celui de F\ Féquation , réduite à la forme

est celle d'une ellipse rapportée à ses diamètres principaux (107).

. S*'. Enfin, si A' et O sont de signes contraires, quel que soit celui de F', l'équation, se réduisant à l'une des formes

est celle d'une hyperbole rapportée à ses diamètres principaux (107).

167. Le dernier cas à considérer est celui où , dans Téquation finale du n°165, l'un des coefl&cients A'^ C, est nul. Soit C'= o.

Si l'on avait en même temps E' = o, l'équation, réduite à A'y^ + D'y' 4- jF' = o , exprimerait deux droites parallèles à l'axe des x' . Dans toute autre hypothèse, l'équation peut s'écrire ainsi :

l3l DIAMÈTRES

Or, en transportant les axes parallèlement, de manière qu'on ait

on ramène Téquation à la forme

qui appartient exclusivement à la parabole.

168. Ainsi se trouve démontrée la proposition énoncée au n® 161. C'est donc à juste titre que, vu l'emploi presque exclusif des coordonnées parallèles à des axes, les courbes étudiées au §IV (n°"116 et suiv.), d'après leurs propriétés ybcfl/e5, s'appellent courbes du second degré.

Des diamètres des courbes du second degré.

1 69. Une équation du second degré peut être utilement discutée d'une autre manière que par la transformation immédiate des coordonnées, pour reconnaître le genre de courbe qu'elle exprime. Reprenons cette équation sous la forme la plus générale, l'angle des axes coordonnés étant quelconque,

(i) ^j'-H Bxy -h Cx^-h Dj-h Ex + F= o,

et supposons que le coefficient u4 de r' n& soit pas nul ; c'est jce qui aura lieu lorsque l'axe des y aura été choisi de manière qu'une parallèle à cet axe rencontre la courbe en deux points, et par conséquent ne puisse pas être une asymptote. L'équation résolue par rapport à jr donne

± ^ s/{£ '— 4 ^6") jc*-H 2 (fiZ> — 2 AE) -H !>»— 4 AF,

DES COUKBES DU SECOND DEGRÉ. l33

d'où ron conclut d'abord que la droite dont l'équation est

coupe en leurs milieux, et sous un angle qui généralement n^est pas droit, toutes les cordes parallèles à Taxe desj^.

Cette droite est un diamètre de la courbe, et la discussion de cette courbe se ramène à celle du radical de l'équation (2).

Si l'on a B^ — i^AC > o, la courbe s'étend à l'infini du côté des X positifs et du côté des x négatifs. C'est donc une hyperbole, sauf le cas particulier de deux lignes droites, quand le trinôme en x sous le radical est le carré d'un binôme.

Si l'on a 5* — 4 ^C <^ o, le trinôme sous le radical devient négatif dès que x, soit positif, soit négatif, est suffisamment grand en valeur absolue; la courbe est donc limitée dans tous les sens, et c'est une ellipse, sauf le cas d'impossibilité, quand le trinôme sous le radical reste né* gatif pour toute valeur de or, et le cas d'un point unique quand le trinôme changé de signe est le carré d'un binôme.

Enfin si l'on a -B* — 4 -^C = o, selon que BD — a u4E est positif ou négatif, le radical reste réel pour des valeurs croissant indéfiniment dans un seul sens; la courbe est illimitée de ce côté seulement; c'est donc une parabole, sauf le cas de deux droites parallèles au diamètre déterminé par l'équation (3).

Dans les deux cas où 5* — 4 -^C n'est pas nul , la courbe a un centre placé sur le diamètre exprimé par l'équation (3) . Si l'on y transporte l'origine des coordonnées en prenant l'axe des x suivant ce même diamètre, et l'axe des y parallèle à sa première direction , la nouvelle équation de la même courbe est , en coordonnées obliques , de la forme