COORDONNÉS
171 . D'après ce qui a été dit en général au n^ 6, le moyen le plus simple d'exprimer la situation d'une droite relativement à trois plans coordonnés est de donner les équations de ses projections coordonnées sur deux de ces trois plans. Si les deux plans de projection sont ceux des zx et des zj^ les équations seront en général de la forme de celles-ci :
zz=:ax -\-p^ z =zhy^ q.
Il faut bien comprendre que les coordonnées x^ y^ z^ d'un point quelconque de la droite dans l'espace , satisfont à la fois aux deux équations , et que chaque équation considérée séparément est satisfaite par les coordonnées d'un point quelconque du plan projetant mené par la droite pa* rallèlement à l'un des axes.
En éliminant z entre les deux équations ci-dessus , on a une relation entre les coordonnées x^ y^ d'un point quelconque de la droite ', et comme ces coordonnées sont aussi celles de la projection coordonnée de la droite sur le plan des xy^ la relation qu'on obtient est l'équation de cette projection , savoir :
ax — è)^-f-^-^^ = o.
172. Si Ton veut déterminer la trace de la droite sur l'un des plans coordonnés , par exemple celui des x et j, il faut évidemment faire ^ = o dans le système de deux équations qui exprime la droite : on aura ainsi les coordonnées de
cette trace ,
l36 EQUATIOHS
On a de même pour les traces sur le plan des xz . * .y = o^ z =g^ a: = ^»
surle plandes j^;5. . .x = o, ^=p, j" = - , '*
173. Si la droite était parallèle à l'un des plans coordonnés, l'une des deux équations à deux variables devrait être celle de sa projection sur ce plan. La seconde équation appartiendrait aux projections de la droite sur les deux autres plans.
Exemple. z = ax -^ b^ y ^nc.
Si la droite était parallèle à l'un des axes, ses équations seraient indépendantes de la coordonnée parallèle à cet axe. Par exemple, la droite étant parallèle à Taxe des 2, l'expression la plus simple de la droite est
x = my y = n,
metn étant les coordonnées de la trace de celte droite sur le plan dps xet y.
il A, Problème. Connaissant les équations de deux droites ,
(i) z = aX'hp \
J pour la première ,
(2) z^=zby -\- q )
vérifier si ces droites se rencontrent , et , dans le cas de V affirmative j troui^r les coordonnées du point d^intersec^ tion.
Les quatre équations ci-dessus doivent être satisfaites par les trois inconnues x^ y^ z y coordonnées du point de rencontre.
\ pour la seconde i
^E LA LICNE DROITE DANS l' ESPACE. l37
Les équations (i) et (3) donnent {5) (a — a')z =ap* — a^p.
Les équations (2) et (4) donnent
(6) (b — b')z = bq'—b'q.
Les équations (5) et (6) devant donner la même valeur de ^ , il faut que les constantes satisfassent à l'équation de condition suivante :
[a — a')[bq'—b'q) = {b — b'){ap'-a'p).
Quand elle a lieu , le reste du problème est aisé à résoudre.
175. PROBLÈME. Connaissant /es équations d^ une droite D rapportée à trois axes rectangulaires^ trouver les angles qiCellejorme as^ec ces axes.
Transportons la droite parallèlement à elle-même de manière qu'elle passe par l'origine, ce qui se fait en supprimant les termes constants des équations. Les angles cher«chés ne sont pas changés, et les deux équations peuvent alors s'écrire sous la forme
Un point de la nouvelle droite, dont les coordonnées sont x^ y^ z est à une distance de l'origine exprimée en grandeur absolue par v^x'-f-j^'-H -z*, et en considérant le sens positif de la droite comme allant de l'origine à ce même point , on a pour les cosinus des angles cherchés :
cos(D, x) =-7
cos(D,y) = -y -^ >
l38 ÉQUATIOHS DE LA LIGUE DROITE DANS l'eSPACE.
Or, d'après les équations ci-dessus , x^jetz sont proportionnelles à a , 6 et c; donc
cos(D, ï) =
cos(D^ z) =
^a^-hb'
formules dans lesquelles il faut remarquer que les constantes a, & et c, sont positives ou négatives, qu'elles ne sont données que par leurs rapports (grandeurs et signes), qu'on peut par conséquent les multiplier par un nombre quelconque, et changer simultanément leurs signes, ce qui change ceuic des trois cosinus et revient à changer le sens positif de la droite.
Réciproquement y sachant qu'une droite passe par l'origine des axes rectangulaires, si Ton se donne les angles qu'elle forme avec ces axes , c'est-à-dire les cosinus de deux d'entre eux et le signe du cosinus du troisième (42) , on en conclura que les équations de la droite peuvent être posées
comme il suit :
cos(D, x) cos{D, y) cos(D, z)'
ce qui revient à écrire , chose évidente , que les trois coordonnées d'un point de la droite menée par l'origine sont proportionnelles aux trois cosinus.
176, Problème. Tromper les équations d^une droite pas-sant par un point donné et parallèle à une autre droite donnée , ou faisant as^ec les axes rectangulaires des angles donnés, •
La droite donnée étant transportée à l'origine et parallèlement à elle-même , ses équations peuvent alors être mises
sous la forme
ÉQUÀTTOS DU PLAN. ïSg
et celles de la droite menée parallèlement par le point dont les coordonnées sont x\y\ z' peuvent se ramener à celles-ci
ou bien , si les axes sont rectangulaires ,
. cos(D, x) cos(D, y) cos{D, z)'
