COORDONNÉS

177. Le procédé qui donne celte équation dépend de la génération qu'on adopte pour le plan.

Ce plan rencontrant nécessairement au moins l'un des axes, supposons que ce soit celui des z. Soit c la distance positive ou négative de l'origine à la rencontre C de cet axe {fig. 48). Les équations des deux traces, dans les deux plans coordonnés xOz et yOz, sont de la forme

z = ax-^c pour la trace D dans xOz, et

^ = fr^ -f- c pour la trace E <lans yOz.

Considérons le plan comme la surface engendrée par une droite G qui, s'appuyant sur la droite D, directrice fixe, se meut parallèlement à la trace E, laquelle est, par conséquent, l'une des positions de cette génératrice.

Soient a et |3 les coordonnées parallèles à Ox et à Oy du point P, où la génératrice G coupe la directrice D. Elles satisfont à l'équation de cette droite, de sorte qu'on a

(i) (3 = aûç-f-c,

et la génératrice G, passant par P et étant parallèle à E , a pour équations

(2) .r = à, et

(3) zz=zby + ^:

l4o ÉQUATION

Si, en conservanl à la distance c et aux coefficients angulaires a et i leurs valeurs algébriques^ ou fait varier a, et par conséquent |3, on pourra faire prendre au point P toutes les positions imaginables sur la directrice D. Ainsi les équations (i), (2) et (3) ont lîeu entre les quantités a et |3 qui conviennent à la génératrice passant par un point quelconque du plan et les coordonnées x^ y el z^ de ce point. Donc, en éliminant a et (3, on aura la relation cherchée, indépendante de la position particulière de la génératrice. Cette équation , qui exprime complétemeut la position du plan, est

z = ax -\- bj -\- c.

Elle s^applique à tous les cas possibles, sauf celui où le plan serait parallèle à l'axe des z. Dans cette hypothèse, l'équation ne contiendrait (92, 2°) que les variables x et j^, et ne différerait en rien de l'équation de la trace du plan sur celui de xj \ elle serait donc de la forme

mx + /7j^ -h ^ = o ,

pouvant se réduire kx = A ou j^ = Z si le plan était à la fois parallèle à deux axes coordonnés.

178. Réciproquement, toute équation du premier degré comprise dans la formule générale

Ax -h Bj-hCz-^ D = o,

dans laquelle les variables x^ y^ z, sont les coordonnées

d'un point variable, exprime toujours un plan. Car," à

moins que G ne soit nul, auquel cas le plan serait parallèle

à l'axe des z, on peut, en divisant par C, mettre l'équation

sous la forme

z = oo: H- fr^ -H c,

et, par conséquent, concevoir la génération d'un plan (177) dont tous les points satisferaient , et satisferaient seuls ^ par leurs coordonnées à l'équation proposée.

DU PLAN. l4l

179. Intersections d*nn plan av^ec les plans et les axes coordonnés. Si dans l'ëqualion d'un plan on fait Tune d^s coordonnées égale à zéro, on a l'équation de la trace du plan sur le plan des deux axes parallèles aux autres cooW données.

Si dans Téquation d'un plan on fait simultanément deux coordonnées nulles , cette équation donne la troisième coordonnée égale à la distance de l'origine au point d'intersection du plan et de l'axe parallèle à cette coordonnée.

Tout plan passant par l'origine a son équation comprise dans la formule générale

u(tx 4- Èy -h Cz = o.

180. Quand le plan ne passe pas par l'origine, l'équation peut être écrite sous la forme

et p, ^, r, sont (179) les distances de l'origine aux intersections du plan avec les trois axes. ^

' 181 . On peut trouver l'équation d'un plan en le considérant comme une surface qui contient toutes les perpendiculaires menées à une droite par un même point de cette droite.

Quelle que soit la position du plan , soit ON (fig* 49) "a droite menée de l'origine O perpendiculairement à ce plan, qu'elle rencontre en N. Soit M un point quelconque du plan, et soient x, y, z ses coordonnées.

Joignons M et N par la droite MN. Cette droite est perpendiculaire à OIN, et, par conséquent, la longueur ON est la projection orthogonale de OM sur la droite ON. Mais la projection de OM est égale (22 et 48) à celle du contour polygonal OPCM , composé des coordonnées x^y^ z^ du point M. Donc , en faisant ON = (î , on a

(i) â = x cosNOx 4- r cosNOy H- z cosNOz.

1^2 ÉQUATIO»

Cette équation , dans laquelle c^ et les trois cosinus sont d^s constantes , tant qu^il s'agit d'un même plan , est Téquation de ce plan .

* Si la droite ON est donnée par ses équations , on peut demander l'équation du plan qui lui est perpendiculaire, en fonction de la distance d et des coefficients qui déterminent la droite. Les équations de celle-ci peuvent être mises sous la forme

X jr z

Les cosinus des angles qu'elle forme avec les axes rectangulaires sont des fonctions de a , & , c qu'on trouve très-facilement (t7'4), et l'équation (i) du plan perpendiculaire à cette droite, et dont la distance à l'origine est J, devient par suite

cî \/à* -h i' -H c' = ax 4- iy -H cz.

Réciproquement on peut se proposer la question suivante.

1 82. Problème. Une droite étant menée de l 'origine perpendiculairement à un plan* donné y trouver les équations de cette perpendiculaire ^ les angles qu elle forme ai^ec les axes rectangulaires y les coordonnées de son pied sur le plan, et la distance de l'origine à ce pied.

Soit l'équation du plan mise sous la forme

Jlx-h By +Cz = i.

Solution directe de la question. Une droite étant perpendiculaire à un plan , la projection orthogonale de la droite sur un second plan est perpendiculaire à la commune intersection des deux plans. Donc la pei*pendiculaire au plan donné a pour équations

/ =z-jX et z=^-jXj ou bien -^ = ^ = ^.