DU PLAN
Les cosinus des angles qu elle forme avec les axes sont proportionnels aux coordonnées or, y^ z d'un point quelconque de cette droite, et par conséquent proportionnels aux coefïïcients A^B^C. De là et de ce que la somme des quarrés des trois cosinus est égale à i , on conclut
cos(N5 x) ^= cos(N,y) =
Les coordonnées a', j\ z' du pied de la perpendiculaire satisfont aux équations du plan et de la droite; on obtient diaprés cela
Enfin, quant à la distance d de Torigine au plan, on a
Solution déduite de V équation (i) du n^ 181. En identifiant les deux équations
et
xcos(N,x) -hy cos(N5 y) -+->zcos(N, z) =(Î5
on a
cos(N, x) = ^d, cos(N, y) = Bd, cos(N, z) = Cd^ et en élevant au quarré et ajoutant,
De là on tire immédiatement d et les trois cosinus.
t44 ÉQUATIONS
Par suite, les équations de la perpendiculaire passant par Forigine qui sont
cos(N,x) "~cos(N, y) ~" cos(N,z)'
deviennent
Enfin les coordonnées du pied sont
x'=(îcos(N,x) = A^«=-^^-p^q-^,, y=(îcos(N,y),etc.
183. Une droite peut être exprimée par les équations à trois variables de deux plans différents qui la contiennent. Il suffit de considérer ces deux équations comme devant être satisfaites simultanément par les coordonnées x^y^ z. On peut, par deux éliminations successives d^une variable, obtenir un système équivalent, mais plus simple, de deux équations à deux variables; et ces équations sont alors tout à la fois celles des deux plans projetants qui y correspondent.
§ X. DE LA TRANSFORMATION DES GOORDONNtBS PARALLÈLES A TROIS AXES, APPLIQUÉE AUX SURFACES DU SECOND DEGRÉ.
184. La forme la plus générale d^une équation algé-brique du second degré entre trois coordonnées x^y^^ z est celle-ci :
•^Cx-^Cj-h C"z-^D = o,
On conçoit, par ce qui a été dit (161 et suiv.), qu'une telle équation, considérée comme exprimant une surface, peut
DES SURFACES DU SECOND DEGRÈr l45
être simplifiée par la transformation des coordonnées sans cesser d'exprimer la même surface.
185. Par une méthode analogue à celle du n°162, on obtient immédiatement des formules pour cette transformation.
Soient Ox, Oy, Oz, les axes primitifs faisant entre eux des angles quelconques ;
a, i, c, les coordonnées de la nouvelle origine O' j O'x', O'y', O'z', les nouveaux axes quelconques.
M étant un point quelconque, considérons deux contours polygonaux conduisant de l'origine O à ce point M: l'un, composé de x^ y^ 2, 1 autre de a, i, c, x', j\ z\ Leurs projections sur une .droite quelconque sont égales, et peuvent fournir une relation entre les coordonnées primitives et les nouvelles. Pour obtenir directement x^y^ -z , en fonction de a, è, c, x\ y\ z\ imaginons un axe auxiliaire OX, perpendiculaire au plan yOz: les projections de j^, z, i , c , sur cet axe, sont nulles, et nous avons
xcos(x, X) = acos(x,X) -l-x'cos(x'X)
-h j' cos (y', X) H- z' cos (z', X).
En considérant deux autres axes auxiliaires de projection, savoir: OY perpendiculaire au plan xOz , et OZ perpendiculaire au plan xOy, on a deux formules analogues :
j-cos(y; Y) = Acos(y, Y) H-a:'cos(x', Y) +y'cos(y', Y)
-|-z'cos(z'. Y),
^cos(z,Z) = ccos(z, Z) -f-j:'cos(x', Z) -+-j'cos(y', Z)
z'cos (z', Z).
186. Quelle que soit l'équation F {oc^y^ ^) == o d'une surface, en y substituant à x^y^ z, leurs expressions tirées
l46 ÉQUATIONS
des formules ci*dessus , on aurait une équation en x\ y\ z\ qui serait Féquation de la même surface rapportée aux nouveaux axes : les quantités a^b ^c^ et les cosinus qui entreraient dans la nouvelle équation, doivent être considérés comme connus dès que l'on connaît les angles des axes primitifs entre eux et la position des nouveaux axes par rapport aux anciens.
187. De ces considérations générales résultent quelques conséquences importantes dans le cas où Téquation F(ar,j^,z)=o de la surface est algébrique.
1°. V équation transformée en x' ^y\ z\ est du même degré que Inéquation primitix^e. Le raisonnement pour le démontrer est celui du n°164.
2°. Si l'on coupe par un plan* quelconque une surface dont Téquation F (x,y, z) = o est algébrique, la courbe d^ intersection est tout au plus du même degré que la sur^ face, c'est-à-dire que l'équation qui exprimerait cette courbe , rapportée à deux axes quelconques pris dans son plan, ne serait pas d'un degré supérieur à celui de l'équation F (a:, ^, z) = o.
En eifet , concevons qu'en transformant les coordonnées on prenne les axes des x' et des y* dans le plan coupant. La nouvelle équation de la surface en x\ y\ z\ sera du même degré que la première. Or, il suffira d y faire z'= o pour avoir l'équation de la courbe d'inlersection , ce qui ne pourra jamais élever le degré.
3°. Une droite ne peut percer une surface en un nombre de points plus grand que P indice du degré de la sur-' face, mais elle peut, en certains cas, s'y appliquer tout entière.
En effet , en prenant la droite considérée pour axe de» x^, et faisant ensuite j^'= o et -3' = o simultanément dans l'équation transformée, on aura une équation en x\ qui
DES SURFACES DU SECOND DEGUÉ. l^^
sera, au plus, du même degré, et dont les racines seront les distances de l'origine O' aux points d'intersection.
Si la supposition r'= o, z'= o, rendait l'équation de la surface satisfaite indépendamment de x\ l'axe O'x' serait tout entier sur la surface.
188. Si, au lieu de changer à la fois les trois axes, comme nous l'avons supposé au n^ 185, on en conserve un, et «pi'en déplaçant les deux autres on les laisse dans leur plan primitif, la transformation est plus simple. Supposons que Ton conserve l'axe Oz, et qu'on remplace Ox, Oy par Ox', Oy', l'ordonnée z d'un peint M quekouque sera commune aux deux systèmes de coordonnées , et les relations entre or, j^ x* et y 9 seront celles qui ont été établies au nM62.
189. Appliquons cette observation à Téquation générale du second degré à trois coordonnées, afin de la réduire à la forme la plus simple, et parvenir ainsi plus facilement à caractériser les divers genres de surfaces que cette équation peut exprimer suivant les diverses valeurs de ses coefficients.
Nous supposerons rectangulaires les trois axes, en remarquant que, s'ils ne l'étaient pas, on pourrait les remplacer par d'autres qui le seraient, sans changer le degré de l'équation exprimant la même surface (187, 1^).
Cela posé, en conservant Taxe Oz, et en raisonnant quant aux deux autres comme on l'a fait au n° 167, on voit qu'on peut toujours faire disparaître le terme contenant le produit xy. Nous supposerons donc, pour simplifier nos calculs, queB soit nul dans Téquation du n° 184, qui devient
>>/x*-+- y^y -+• A"z'-^B'xz -h B"yz
l48 ÉQUATIONS
et qui peut aussi bien exprimer toute surface du second degré.
190. Démontrons quil est toujours possible de diriger l'axe des z, les coordonnées restant rectangulaires y de manière que V équation^ exprimant toujours la même surface quauparav^ant^ ne contienne plus les produits xz^jz.
Soit OZ la direction cherchée {fig- 5o) ;
Soit Ox' la projection orthogonale de OZ sur le plan xOy;
Et soit OY menée par l'origine O et dans le plan xOy perpendiculairement à Ox'. Cette droite sera par consé^ quent perpendiculaire à OZ.
Si Ton voulait prendre Ox', OY et Tancien Oz, pouf nouveaux axes coordonnés, il faudrait (188 et 165) , en faisant xOx'= 0, substituer dans l'équation de la surface les expressions •
X == a:'cos0 — JTsinO, j^ = x' sin H- JTcos 9 ,
et laisser z sans changement.
Cette substitution faite, on pourrait changer les deux axes rectangulaires Ox , Oz, etles remplacer par OX, OZ, également rectangulaires , et dans le même plan perpendiculaire à OY.
Pour cela , il faudrait, en appelant y l'angle zOZ, substituer dans la transformée précédemment obtenue
z = Z cosy — X sin y, x' = Z sin y -f- Xcosy ,
et laisser l^sans changement.
Or, ces deux substitutions successives reviennent à mettre immédiatement dans Féquation primitive les valeurs sui-
