DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ

Vantes :

z = Zcosy — Xsiny,

x-=i (Zsiny-f-Xcosy) cos9 — JTsinO,

j- = (Z siny-hXcosy) sînO -f- jrcosfi.

Faisons donc cette' substitution immédiate, mais en n'écrivant que les termes en XZ et JTZ, que nous voulons faire disparaître. Nous aurons ainsi les termes :

XZ/ — iA siny sin 5 cos 6 -f- 2^'siny sin6cos0 — jB'cosy sinô ^' cos y cos 9

2 -<^ sin 7 cos 7 cos' XZ — a^rfsinvsinOcosô YZ 2 ^'siny cosy sin* 9

— 2 -<^" sin y cos 7 -f- 5' cos' 7 cos9

— ^ sin' y cos 9 -i- B" cos' y sin ô

— fi'^sin'ysine

Il s'agit maintenant de démontrer qu'il existe toujours pour Taxe OZ une position telle, que les angles 9 et y qui lui appartiennent rendent nuls, dans Téquation transformée, les deux polynômes coefficients de XZ et de YZ,

Prenons sur OZ, à partir de l'origine, une distance représentée par I. Appelons a, &, c , ses projections sur les trois axes primitifs, et d sa projection sur Taxe OV. Il est facile de voir qu'on a

cosy = c, siny = rf, cos9 = -%9 sin9 = -^-

Substituons ces expressions dans les deux polynômes coefficients de XZ et de JZ, que nous égalerons à zéro^ nous aurons deux équations :

+ £^'J(c'-rf') = o,

i5o ÉQrATions

ou plas simplement

Ces deux équations joitites aUK deux relations

renferment les conditions nëccssaires pour déterminer les quantités a^ b c , d'où dépend la position de Taxe OZ.

En multipliant Téquation (i) par a et l'équation (2) par 2>e, puis ajoutant, on trouve

2 jiac (««H- A«) — 2^'^ûc^»-f- fi'c*(û* -h i*)

ou , en divisant par d^ égal à a* -+- i*,

(3) 2(^ — ^^)^c-f-fiV — £'a*— i?''ûi = o.

Les équations (2) et (3) se simplifient encore es posant b c ' c

deviennent

-=:a, — =P, et en substituant a = ca, &=ïeP; elles

d où , en éliminant |3, on tire l'équation finale en a :

d'-o^B^A-A') -^B'Ia—A')

Nous n'avons pas à nous occuper du cas où B' et B^seraient tous deux nuls , puisque Téquation du n^ 189 ne contiendrait pas les produits xz eiyz. Si jî' seul était nul, il

DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. l5l

suffirait de faire permuter Taxe des x et celui desj^ pour que le coefficient de xz dans cette équation devint B" et cessât par conséquent d'être nul. Nous ne nous arrêterons donc pas non plus à cette hypothèse.

Si l'on avait A = A\ l'équation (6) réduite à

aurait nécessairement deux racines réelles.

Dans tout autre cas , il existera toujours au moins une valeur réelle de a, positive ou négative, qui satisfera à Téquation (6) : car c'est, en algèbre, une proposition générale et facile à démontrer que toute équation de degré impair, à une inconnue^ a au moins une racine réelle. ' Cette valeur de a étant substituée dans l'équation (4)» celle-ci donnera la valeur correspondante et également réelle de /3. Enfin , a et |3 étant connus , les équations

a=:ca, b = c^j a'-f- i*-+- c*= i,

donneront aisément i3, £, c, et, par conséquent, la direction OZ, qui est celle de la diagonale du parallélipipède rectangle dont les arêtes sont a , ^ , c , suivant les axes primitifs.

191. Il résulte de la démonstration précédente que l'équation la plus générale du second degré, après avoir subi, par le déplacement de deux axes, la modification indiquée au n**189, pourra, au moyen d'une nouvelle transformation , être remplacée par une autre , comprise dans la formule suivante, en coordonnées rectangulaires :

A,x^ -h A\j^ -h A\ z^ ■+- B, xy