Dans ce cas, Téquation (193) peut s'écrire ainsi

Le plan des x et y ne rencontre pas la surface, car Téqua-

tion -r + 4; = — I n'a aucune solution. U en est de même a^ o*

de tout plan perpendiculaire à l'axe des z dont la distance au plan des x ety est moindre que c. A cette distance c, positive ou négative, Taxe des z perce la surface. A une distance plus grande la section faite par tout plan perpendicu-

DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. l55

laire à Taxe des z est une ellipse dont le centre est sur cet axe, et dont les diamètres augmentent avec cette distance.

Les seclîons ou traces de la surface dans les plans des x et z et des^ et z sont des hyperboles ayant un même diamètre transyerse égal à 2C, suivant Taxe des z.

Cette surface , composée de deux parties séparées , s'appelle kyperboloïde à deux nappes.

Elle devient un kyperboloïde de résolution à deux nappes lorsque a et 5 ou P et P' sont égaux.

197. Passant à la seconde hypothèse sur Téquaiion générale du n® 192, supposons que P soit nul , P' et P^ ne l'étant pas. L'équation peut alors s'écrire ainsi , pourvu que Q ne soit pas nul ,

OU) en transportant les axes parallèlement à eux-^mêmes,

p' et p'^ désignant des constantes positives ou négatives.

Une propriété générale des surfaces exprimées par celte équation , c'est qu'elles sont dénuées de centre. En effet, en quelque point de l'espace que l'on transporte l'origine , en laissant les axes parallèles à leur direction actuelle, l'équation sera renfermée dans la formule

Or, dans ce cas , l'origine ne peut être un centre, parce que l'équation, satisfaite par certaines valeurs de a:, j, z, ne le sera plus par ces valeurs changées de signes.

1 56 CLASSI FICATION

Les surfaces dénuées de centre présentent deux cas dîs^ tincts.

/"■ Cas des surfaces dénuées de centre. P' et P" on p* et

p^^ de même signe.

198. Si p' et y?'' étaient négatifs, ils deviendraient positifs par le changement de sens de Taxe des x.

p^ gX. p" étant donc supposés positifs, on voit, en faisant successivement j^ = o et z = o, qiie les plans des xz et des xy coupent la surface suivant des paraboles dont le diamètre principal est Taxe positif d^s x^ et dont le sommet est à l'origine des coordonnées.

Un plan perpendiculaire à l'axe des x, dans sa partie négative, ne rencontre point la surface. Si, au contraire, il coupe l'axe des x dans sa partie positive, à une distance quelconque, son intersection avec la surface est une ellipse.

Cette surface s'appelle paraholoïde elliptique.

Lorsque p' eip" sont égaux , elle devient un paraholoïde de réi^olution engendré par la rotation d'une parabole autour de son diamètre principal.

IP Cas des surfaces dénuées de centre. P' et P" ou p*

et p^^ de signes contraires.