Dans ce cas, l'équation prend la forme

ip 2q

p et g étant des longueurs absolues non susceptibles de signes.

I^es plans des xz et des xy coupent encore la surface suivant des paraboles qui ont leurs sommets à l'origine 5 mais le diamètre principal de l'une est suivant l'axe négatif

DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. iSj

des X, tandis que celui de Tautre est suivant la partie positive du même axe.

Si , au lieu de z = o, on fait z égal à une constante quelconque, on obtient pour la section faite par un plan parallèle à celui des ocy une parabole dont l'équation est

y* = 2px -h constante,

et qui, par conséquent, est toujours de même grandeur, quelle que soit la distance du plan coupant à Torigine. Cette parabole a son diamètre principal dans le plan des xz et parallèle à Taxe. positif des x. Il s'ensuit que la surface peut être considérée comme engendrée par une parabole dont le plan se meut parallèlement à celui des xy^ dont le diamètre principal reste dans le plan des xz^ et dont le sommet parcourt une parabole fixe, dont le plan est celui de xz et dont le diamètre principal est dirigé en sens contraire de celui de la parabole mobile.

Si , en faisant x égal à une constante, on cherche l'intersection de la surface par un plan quelconque perpendiculaire à l'axe des x, on trouve l'équation d'une hyperbole qui se réduit à deux droites quand on fait x = o.

Cette surface s'appelle paraboloïde hyperbolique,

200. On a vu que, lorsque dans l'équation générale du n** 192 les coefficients P, P', P"^ sont tous différents de zéro, cette équation peut toujours se réduire à la forme

Mais il peut arriver que «S' soit nul, et, dans cette hypothèse, il faut distinguer deux cas. *

201. P'' Cas particulier. Dans l'équation les trois coefficients sont de même signe.

l58 CLASSIFICATION

L^équation, ne pouvant être satisfaite que par x = o^ jr= o et z := o simultanément, n'exprime qu'un seul point.

20â. //" Cas particulier. Les trois coefficients ne sont pas de même signe*

L équation peut être écrite ainsi :

Les sections de la surface par les plans des j: et :z et des y et z se composent chacune de deux droites passant par l'origine. La surface est un cône. En effet, si x', y\ z', sont les coordonnées d'un de ces points et satisfont à l'équation , tout autre point de la droite passant par ce premier point et par l'origine aura pour coordonnées les produits ma:', ^\ mz\ des premières par un même nombre. Or ' ces produits satisferont «gaiement à l'équation. Donc la ■droite dont il s'agit est tout entière sur la surface (*).

La surface devient un cône de révolution quand aexh «ont égaux.

203. Toute surface conique du second degré, coupée par un plan qui ne passe pas par le sommet, ne peut donner pour intersection que l'une des trois courbes du second degré (187, 2°), et donne une ellipse, une parabole et une hyperbole, suivant que le plan coupe toutes les génératrices rectilignes, ou qu'il est parallèle à Tune d'elles seulement, ou qu'il est parallèle à deux génératrices. De là le nom de sections coniques donné par les anciens géomètres aux courbes du deuxième degré.

Les hyperboloïdes, dont le oône est le cas particulier, ont

( * ) Le même raisonnement prouve que toute équation algébrique en r, y y z, dont tous les termes sont du ménoe degré, exprime une surface conique ^ont le sommet est Torigine des coordonnées.