DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ

la même propriété de fournir les trois courbes par leurs sections planes.

204. En discutant (197) Téquation générale du n° 192 dans l'hypothèse où P serait nul, P' et P" ne Tétant pas, nous avons excepté le cas où Q serait nul en même temps. Si P et Q étaient nuls, Téquation pourrait se ramener à la forme

qui appartient en général à une surface cylindrique (77) dont les génératrices rectilignes sont parallèles à Taxe des x. Elle comprend quatre nouveaux cas particuliers.

205. IIP Cas particulier. Si P' et P" sont de même signe, et que 5 ne soit pas nul, il est aussi de même signe, sans quoi il y aurait impossibilité ^ et la surface est un cy^ lindre à hase elliptique.

206. IF' Cas particulier. Si , -P' et P" étant de même signe, S est nul, l'équation, qui ne peut être satisfaite que par j" = o et ^ = o, indépendamment de x, exprime une seule droite, qui est ici l'axe des x.

207. V' Cas particulier. Si , P' et P" étant de signes contraires, S n'est pas nul, la surface est un cylindre à base hyperbolique.

208. FP Cas particulier. Si, P' et P" étant de signes contraires, «S est nul, l'équation, delà forme y* — m^z^ = o, ouj^ = ± mz^ exprime deux plans qui se coupent suivant Taxe des x.

209. Il reste encoie à examiner les cas où deux des coef« ficients P, P\ P'\ de l'équation du n° 192, deviennent nuls. Cette équation peut alors s'écrire ainsi

l6o CLASSlFIG/iTlOM DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ.

OU, en transportant parallèlement les axes de x et des j,

équation qui comporte trois cas distincts.

210. y II" Cas particulier. Si aucun des coefficients Q, Q', n'est nul, quel que soit «S, la surface coupée par un plan quelconque parallèle au plan des x et y donne une droite parallèle à celle qui dans ce plan aurait Téquation

Les sections dans les plans dçs x et z et des j^ et z sont des paraboles \ la surface est donc un cylindre à base parabolique.

Il en serait de même si Tun des coefficients Q, Q', était nul , quel que fût S.

21 1 . FUI' Cqs particulier. Si Q et Q' sont tous deux nuls, S ne l'étant pas, Téquation, réduite à F" z^ = «S ou

2 = db i/TîT?» exprime deux plans parallèles.

212. /X* Cas particulier. Enfin si Q, Q' et 5, sont nuls à la fois, l'équation P''z'=o, satisfaite seulement par i5==o, indépendamment de x et dej^, exprime un seul plan^ qui , par les transformations, est devenu celui des X et y.

21 1^. Ainsi , outre les cinq principaux genres de surfaces que peuvent exprimer les équations du second degré à trois variables, on peut trouver comme cas particuliers :

Trois espèces de cylindres , le cône, deux plans qui se coupent j deux plans parallèles y un seul plan, une droite et un point unique.

i»LANS DIAMÉTRAUX DES SURFACES DU SECOND DEGtlÉ. iBl

§ XII. PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES DES SURFACES DU SECOND DEGRl^. SIMILITUDE DES SECTIONS PARALLÈLES.

214. Quelle que soit une surface du second degré, prenons pour axe des z une droite qui la coupe en deux points, le plan des x ely étant d'ailleurs quelconque, son équation sera de la forme

z^ -h Ax^ -h A'y'^ -h Bxj 4- Bxz 4- B"yz

-^Cx^Cy^Cz-hD^^^o'^ d'où

en désignant par B un polynôme en j: et j^ du second degté au plus. On voit aisément par là que le plan dont 1 équation est

coupe toutes les cordes parallèles à la première en leurs milieux. Ce plan s'appelle plan diamétral.

Il existe une infinité de plans diamétraux ^ puisqu'on peut donner à une corde une infinité de directions.

215. Si l'on prend pour plan des a: et j^ le plan diamétral qu'on vient de trouver, en conservant le premier axe des z^ l'équation de la surface ne contiendra plus z au premier degré et sera de la forme

z^'hAiX*'hA\j^-+'BiXjr'hCiX'+'C\y-^D=:o.

Cela étant, en changeant la position des axes des x et des y dans leur plan, et laissant l'axe des z parallèle à sa première direction, on pourra réduire le polynôme en x ety qui accompagpe z^ à trois termes ou à deux , suivant le

l6a PLANS DIAMÉTRAUX

cas (n*** 166 et 167). Donc l'équation de la surface deviendra

z^ 4- My^ -4- iVa;' -H P = o si elle a un centre,

z^ -h My^ -h Px = o si elle n'a pas de centre.

Ces formes sont précisément celles que nous avons discutées aux n^** 194 et suivants. La seule différence est ici que les trois axes ne sont pas rectangulaires.

n est à remarquer que, d'après ce qu'on a vu aux n*** 169 et 170, il y a une infinité de systèmes d'axes desy et des x pour lesquels, l'axe des z restant le même, les formes des équations ci-dessus ne changeraient pas.

216. On appelle diamètre d'une surface du second degré une droite dont la propriété est de contenir les centres des sections faites par des plans parallèles entre eux.

D'après ce qu'on vient de voir, toute droite menée par le centre d'une surface du second degré parallèlement à une corde qui rencontre cette surface en deux points est un diamètre.

Lorsque trois diamètres sont tels, qu'en les prenant pour axes coordonnés on a Féquation de la surface sous la forme

-z* -I- Afj« 4- iVx» 4- P = o,

chacun d'eux contient les centres des sections parallèles au ' plan des deux autres ; on les appelle diamètres conjugués. Lorsque l'équation d'un paraboloïde est sous la forme