Lemme. D'après la définition de !• similitude en

DES SURFACES OU SECOND DEGRÉ. i63

général (*), deux courbes planes sont semblables et semblablement placées par rapport aux axes coordonnés, lorsque, V équation de l'une étant F (x, j) = o, V équation de Vautre est F [kx, hy) = o, A indiquant un nombre constant y qui est le rapport de simUitude, et la notation F indiquant la même fonction dans les deux équations.

Il résulte de là :

I®. Que les deux courbes à centre dont les équations sont

j^* + nx^ = /9, j* -I- nx^ == p'

(le coefficient n étant le même dans les deux équations), sont semblables et semblablement placées par rapport à l'origine si p et p' sont de même signe; car en faisant //== ^ >

(*) Un système de points M, N, P,. . , (formant soit des lignes, soit des surfaces, soit un ou plusieurs corps), étant situé d'une manière quelconque dansFespace, si Ton prend un point S aussi quelconque (pouvant comme cas particulier être l'un de ceux du système), qu'on mène les droites SM, SN, SP,. . ., et que sur ces droites prolongées au besoin on porte, à partir du point, les distances SM', SN', SP', . . . , proportionnelles à SM, SN, SP, . . . , et dirigées respectivement dans le même sens, les points M', N', P', ainsi obtenus, formeront un système semblable au système M, N, P,. . . , et semblablement placé par rapport au point S, qui s'appelle /^o/e commun de similitude. Les points M', N', P',..., sont respectivement homologues des points

M, N, P, Les droites M'N' et MN, qui joignent deux points d'un système

et leurs homologues dans l'autre , sont des droites homologues. Enfin deux plans passant Tun par trois points d'un système et Tautre par les. trois homologues du système semblable sont deux plans homologues. Cela posé , ou démontre: i*^ que dans deux systèmes semblables et semblablement placés deux droites homologues quelconques sont parallèles, et que leurs longueurs sont entre elles dans le rapport des distances de deux points homologues quelconques au p<Me commun ; 2*^ que les plans homologues sont parallèles; 3^^ que les angles plans, dièdres ou polyèdres, homologues, sont égaux. — Deux systèmes peuvent être semblables sans être semblablement placés ; mais il faut pour cela qu'il soit possible d'en construire un troisième égal à l'un d'eux et en même temps semblable à l'autre et semblablement placé par rapport à un pôle commun. On démontre aisément d'après ces principes que deux systèmes semblables à un troisième sont semblables entre eux.