SIMILITUDE DES SECTIONS PARALLÈLES

(m voit que la seconde équation équivaut à

a°. Que deux paraboles quelconques dont les équations sont

sont semblables et semblablement placées par rapport à l'origine si p et p' ont même signe-, car si Ton fait p'= ^» la seconde équation équivaut à

218. Théokème. i°. Si un plan coupe une surface du second degré suii^ant une courbe à centre, il en est de même de toutes les sections planes parallèles à la première : tous les diamètres principaux de ces sections sont dans deux mêmes plans] et par conséquent leurs centres sont sur une même droite,

2?, Si Vune des sections est une ellipse, toutes les autres sont des ellipses semblables dont les lignes homO'' lùgues sont parallèles.

30. Si Pune des sections est une hyperbole, toutes les autres sont des hyperboles dont les asymptotes sont parallèles et qui peuvent former deux groupes distincts d^hjperboles semblables.

4®. Si la première section est une parabole, toutes les sections parallèles sont aussi des paraboles, qui ont leurs diamètres principaux dans un même plan.

Démonstration. 1®. Soit la première section rapportée à ses deux diamètres principaux pris pour axes rectangulaires des z et y. L'équation sera de la forme

-5'-i-py*-h7 = o.

Imaginons le plan diamétral qui correspond dans la sur-

DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. l65

face aux cordes parallèles à Taxe des z. Ce plan diamétral rencontrera le plan coupant suivant Taxe des y, puisque cet axe a, dans le plan de là section, la propriété de passer par les milieux de toutes les cordes parallèles à l'axe des z. Enfin prenons l'axe des or, dans le plan diamétral, suivant le diamètre qui coupe en leurs milieux les cordes parallèles à Taxe des j*. L'équation de la surface rapportée aux trois axes ainsi définis sera de la forme

z* -4- py -hq •+- TOxl-h nx = o.

Or, si, pour obtenir une section faite par un plan parallèle à celui des zjj on fait a:= constante, on trouve une courbe ayant un centre situé sur Taxe des x et deux diamètres conjugués qui, étant dans les plans des zx et desjrx^ sont parallèles aux axes rectangulaires des z et des y.

a°. Si la première section est une ellipse, p est positif; ôt, tant que x n'est pas assez grand pour rendre imaginaires les sections parallèles, ces sections restent des ellipses sem** blables, puisque le coeflScient p de j^* ne change pas. Par la même raison les axes homologues des sections sont dans un même plan.

3°. Si la première section est une hyperbole, p est négatif et peut être remplacé par — /*; l'équation de la surface devient

z* — l^y^ -i- g -^ mx* + nx = o.

La première section a pour asymptotes deux droites dont les équations sont

et, suivant que 9 est positif ou négatif, l'axe des z est le diamètre principal trans verse ou non trans verse.

Toutes les sections parallèles seront également des hyperboles, puisque le coefficient — /* de y* ne change pas, et

l66 SIMILITUDE DES SECTIONS PARALLÈLES, ETC.

leurs asymptotes, ayant toujours la même équation en z et j, seront par conséquent dans deux mêmes plans et parallèles.

Ces hyperboles seront semblables tant que, en faisant y arier x, on ne changera pas le signe du trinôme q+mx^-{'nx. Mais si ce signe change, le diamètre transverse de la nouvelle hyperbole devient parallèle au diamètre non transverse de la première , et "vice versa. Les deux courbes ne sont plus semblables : l'une occupe les deux angles aigus de ses asymptotes, l'autre les deux angles obtus des siennes.

Quand le trinôme ^-f-/7ia:'-l-wa: peut changer de signe, il y a une valeur de x qui le rend nul, et alors la section se réduit à deux droites parallèles aux asymptotes des sections parallèles.

4°. Si la première section est une parabole, on peut choisir les axes rectangulaires des z et des y de manière que son équation soit

-Z* — upjr = o.

Prenons l'axe des xdans le plan diamétral correspondant à Taxe des z ; l'équation de la surface sera comprise dans la formule suivante :

z^ — t^pf -H mx*+ nxy -f- ^x = o,

les coefficients m, n, ^, pouvant être nuls séparément ou tous à la fois. Or il est facile de reconnaître (138) que, si l'on y fait x = constante, on aura toujours l'équation d'une parabole dont le diamètre principal sera dans le plan des X et y y par conséquent parallèle à l'axe des^. Ce diamètre sera dans le sens positif ou dans le sens négatif de l'axe desy, suivant que ap — nx sera positif ou négatif. Lorsque ce binôme sera nul, la section dégénérera en deux droites parallèles, ou même en une seule droite si l'on a en même temps

2p — wx=o et /nx'-f- ^a:== o.

tSÉNÉRÀTlON DES SURFÀGBS RÉGLÉES DtJ SECOND DEGRÉ. lÔ'J