GÉNÉRATION DES SURFACES RÉGLÉES

lions sont x = — a , z = c , donne Féqualion (4) — a = mc^ n.

Enfin la génératrice rencontrant NN', dont les équations sont x= a^y =: — 5, îlya une valeur de z qui , jointe à ces valeurs de x et js satisfait aux équations de la généra^ trice. D'où Ton conclut la relation

^ ' mm

Les cinq équations ci-dessus posées existent pour les coordonnées d'un point quelconque de la surface et pour les constantes relatives à la génératrice passant par ce point, Donc si Ton élimine les quantités m , riy m\ n^^ il restera entre les coordonnées a; , j^, z^ une équation qui sera celle de la surface.

De (i) et (4) on déduit

(6) x-ha=zm(z — c) et — a^ — ca:=n(^ — c).

De (2) et (3) on déduit

(7) y — h = rn'(Z'hc) et bz -hcy:=;n' (z + c)^

On peut tirer de là les valeurs de m, n^ m'^ n\ et les substituer dans Téquation (5). Il est aisé de reconnaître qu^on a ^ sans écrire aucun calcul , en multipliant à vue le premier membre de (5) haut et bas par (z — c) , et le se-« cond membre par [z-hc)j et mettant immédiatement pour n{z — c)^m{z — c), /i'(^-l-c) et m' (z -j-c), leurs va-^: leurs tirées de (6) et (7) ,

a(z^-c) -f-«-3 -h c;r — b(z^c) — bz — cf

d^où, faisant disparaître les dénominateurs et réduisant^

co(y -h hxz -H ayz -\- abc = o , équation cherchée , qui est du second dcgrp.

DU SECOND DEGRÉ. i6q

La surface qu'elle représente a un centre, qui est Torigîne [des coordonnées , puisque cette équation étant satisfaite par trois valeurs de x^ y et z^ Test également par ces trois valeurs changées de signe (192). D'après sa généralion, cette surface est continue et d'une étendue illimitée; elle n'est ni un cylindre ni un cône : donc elle est un hyperboloïde à une nappe,

221. Voxxt démontrer le second cas de la proposition du n« 219 :

Soit Oz [fig' 53) une position particulière de la génératrice, et soient O, B, C, les points où elle coupe les trois directrices 00', BB', CC, parallèles à un même plan.

Par le-point O de la première menons les axes Ox, Oy, respectivement parallèles aux deux autres. OO' est dans le plan de ces deux axes.

Les équations des trois directrices, au moyen de ce choix des axes, n'exigent que trois constantes , et sont telles que celles-ci :

Pour 00', y = aa:, 2 = 0, Pour BB', z r^ h^ y = o , Pour ce, z =:h'^ a: = o.

Cela posé, soient les équations d'une génératrice quelconque

z =:nix-hp^ z = ny-hq»

La condition où elle est de rencontrer les trois directrices fournira trois relations (176) entre les indéterminées w, n 5 /7j ^, et les constantes a , A , A', savoir :

~=.-^> h=zq. h'=ip. n m ^ '

l^^liminant m^ n^ p^ q^ des cinq équations simultanées pré-