GÉMÉRATION DES SURFACES RÉGLÉES

cédeiites , on trouve

hy olIi' X

z — h z — A' ' ou

hzy — a A' zx — hh'y -h et hh* x = o.

C'est Téquation de la surface considérée, qui, comme on voit, est du second degré.

222. On peut aisément démontrer que cette surface n'a pas de centre. Si elle en avait un, en y transportant l'origine on ferait disparaître les termes du premier degré en Xj j-, z. Pour cela il faudrait substituer dans l'équation

Ecrivant seulement les termes du premier degré, on aurait

h (bz'-h cy) —ah' [az'-tcz') — AA'/ -h aAA'x^ ou

(bh — oLah')z'-^{ch — hh')y'—[oLch'—aLhh')x'.

Or, pour que ces termes disparussent, il faudrait qu'on pût avoir à la fois

c — A' = o et c — A = o ,

ce qui est impossible, puisque A diffère nécessairement de A'. La surface du second degré dont il s'agit, n'ayant pas de centre et donnant des hyperboles pour sections par des plans parallèles à ceux des xz et desyz, ne peut être qu'un paraboloïde hyperbolique.

223. L'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique sont utiles dans les applications de la Géométrie descriptive. Ils portent la dénomination commune surfaces réglées du second degré , et jouissent toutes deux

BtJ SECOND DEGRÉ. I7I

d'une propriété remarquable : c'est de poui^oir être engendrées de deux manières différentes par une ligne droite mobile qui s'appuie sur trois lignes fixes.

En effet, soient D, D', D'', les trois directrices primitives. Si M est un point de la surface, c'est qu'il se trouve sur une génératrice G rencontrant D, D', D''. Soient G', G'', deux autres génératrices satisfaisant à la même condition. Il est impossible que deux des trois droites G, G', G'' soient dans un même plan, car ce plan contiendrait aussi au moins deux des directrices. Cela posé, si Ton imagine qu'une droite mobile glisse sur les trois droites G, G', G", elle engendrera une surface réglée du second degré. Or cette droite mobile ayant dans chacune de ses positions trois points communs avec la surface primitive y sera coutenue tout entière (187, 3°) : donc les deux surfaces coïncideront.

Suivant que les droites D, IV, D'', seront ou ne seront pas parallèles à un même plan , il en sera de même des génératrices G, G'j G". D'où l'on conclut facilement que le paraboloïde hyperbolique peut être engendré par une droite mobile qui s'appuie sur deux droites fixes en restant constamment parallèle à un même plan.

224. Théorème. Si deux surfaces du second degré se rencontrent suii^ant une ligne plane et qu elles se coupent encore suiv^ant une autre ligne y cette seconde intersection est également plane.

Prenons le plan de la première ligne commune pour celui des xy^ et supposons que l'équation de Tune des surfaces soit

.V j Ax^-^-A'j^-^ A^^z'-^Bxy + W xz -h B"yz ^' j ^.^^Cx-^Cy-^C^z^D^o.

L'équation do la ligue commune s'obtiendra en faisant