NOTIONS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

§ I. PROBLÈME GÉNÉRAL DES TANGENTES. SOLUTIOÎîS DANS LES CAS OU LA COURBE PEUT ÊTRE EXPRIMÉE PAR UNE ÉQUATION DU PRE- MIER DEGRÉ EN COORDONNÉES POLAIRES, FOCALES, ETC.

225. Soil M (fig. 54) un point fixe sur une courbe; soient M', M", . . . , diverses positions d'un second point considéré comme mobile sur la courbe et pouvant s'approcher autant qu'on veut de M sans jamais se confondre avec lui^ la sécante déterminée par ces deux points distincts prend diverses positions MS', MS", . . . , et s'approche autant qu'on veut d'une position MT qu'elle n'atteint jamais. Cette position limite est celle de la tangente au point M pour la branche de courbe considérée.

Lorsque l'on dît que la tangente passe par deux points delà courbe infiniment voisins l'un de r autre , on qu.^ elle est le prolongement rectiligne d\in arc infiniment petite on exprime d'une manière abrégée les mêmes idées que par la définition précédente 5 car on fait entendre qu'une droite passant par le point donné M et par un autre très-voisin M', pris également sur la courbe , forme avec la tangente un angle non-seulement très-petit , mais qu'on peut rendre aussi petit quon veut en diminuant suffisamment MM'.

226. La définition ordinaire de la tangente au cercle est en défaut pour beaucoup de courbes ; exemples : sinusoïde^ cycloïde, spirale. Au contraire, la définition générale (n** 225) s'applique au cercle* En effet, à mesure que l'arc MM' (fig. 55) décroît, l'angle au centre MOM' devient

1 y4 TAKGENTES

aussi petit qu'on veut, et par conséquent l'angle S' MO diffère aussi peu qu'on veut de T angle droit : donc la tangente en M est la perpendiculaire MT au rayon OM.

227. Tangente à V ellipse. Soient F, F' les foyers (fig' 56), et M un point de la courbe. Pour avoir un second point M' de rdlipse, on porte une longueur arbitraire MN en augmentation du rayon vecteur FM , puis MN' = MN en diminution de l'autre rayon vecteur F' M; et autour des centres F, F', on décrit les arcs NM', N' M'. Un point quelconque S de la sécante MM' jouit de cette propriété que, si l'on mène SR, SR', parallèles aux cordes M'N, M'N', on a MR = MR' comme MN = MN'. Or à mesure que M' M diminue, les angles M'NM,M'N'M, approcbent autant qu'on veut d'être droits -, de même les- angles SRM, SR'M : donc la tangente MT est telle, que si d'un de ses points on mène des perpendiculaires TV, TV aux rayons vecteurs FM, F' M, les distances MV, MV sont égales 5 donc MT est bissectrice de Tangle VMF'; donc

angle TMF' = angle T'MF.

On arrive au même résultat de la manière suivante, par l'emploi des infiniment petits y qui, dans un langage abrégé, sous-enlend les idées intermédiaires ci.-dessus exprimées. Pour obtenir un point Mi de l'ellipse infiniment voisin du point donné M, il faut augmenter l'un des rayons vecteurs d'une longueur infiniment petite MNi, et diminuer l'autre d'une quantité égale MN'^: puis décrire deux arcs N^M,, N', Ml, des centres F, F'. Ces arcs, infiniment petits, se confondent avec deux droites perpendiculaires en N^ et N', sur MV et MF' -, donc la diagonale infiniment petite MMt dont le prolongement rectiligne est la tangente divise l'angle VMF' en deux parties égales.

228» Tangente à V hyperbole. Solution analogue