ET DÉRIVÉES. I
de la sécante, est Tinclinaison de la tangente sur Taxe des x (225) : donc
lim— = inclinaison de la tangente sur Taxe des x 3x'
Cet exemple donne une idée de la méthode à suivre en général pour déterminer la tangente à une courbe d'après Téquation de-cette courbe.
235. La notation lim -~ se remplace par -~ ? expression qui peut se considérer sous trois aspects différents. 1°. -p- peut être considéré comme une simple notation
équivalente à celle-ci, lim-^ signifiant limite du rapport
des accroissements simultanés de y et de x à mesure que ces accroissements approchent de zéro. Sous ce point de
vue djet dx ne sont pas deux quantités : -p- en est une ^
-1 — est son inverse , c'est-à-dire lim - — • dj Aj
n^. On peut considérer d x et djr comme des accroissements qu'il faut donner kxet y pour passer du point M de la courbe à un autre point N de la tangente en M. Dans ce cas 5 dj^ et do: sont deux quantités liées l'une à l'autre par un rapport déterminé ^ mais elles soi^t d'ailleurs arbitraires. On peut alors écrire indifféremment, dans Texemple du n^ 234,
j^ = — r> ou dr = — r<l«3r:, ou a*dr = Sx'dx. dx a^ *^ a* "^
Sous ce second point de vue on peut faire Ax = dx, et les trois quantités dx. A/, djr^ seront les accroissements
i8o DIFFÉRENTIELLES
simullanés de l'abscisse , de l'ordonnée de la courbe , de Tordonnée de la tangente. Ainsi par exemple on aura ifiS' ^3 ) ^i^ même temps
PP'=dx, M'Q = Ay, NQ = dj.
Les deux rapports -j^y ^» dont le second est la limite '^^ ax ax
du premier, ont donc une différence qui décroit autant
qu'on veut à mesure que dx diminue. Ainsi on peut poser
dx dx ' '
a quantité dépendante de dx et devenant aussi petite qu'on veut à mesure que dx diminue. Il en résulte qu'à mesure que les quantités Ay^ dj*, décroissent par suite de la diminution de dj:, le rapport de Ay à dy approche autant qu'on veut de l'unité ^ car Téquation ci-dessus donne
Aj dx
dx dy
3°. Le troisième mode de considérer djr et dx est une conséquence des observations précédentes. On peut assigner à do: un tel degré de petitesse, que dy puisse, sans crainte d'erreur dans les applications ou les conséquences qu'on en tirera, être pris pour Ay ou réciproquement. A ce degré de petitesse et au-dessous, les accroissements da: et dy sont dits infiniment petits f et dy peut alors être considéré indifféremment, et selon le besoin de la recherche dont on s'occupe, comme l'accroissement de l'ordonftée de la courbe ou de l'ordonnée de la tangente. Considérés sous ce dernier point de vue, les accroissements simultanés dx et dy s'appellent les différentielles des variables x et y.
236. Lorsque deux quantités variables sont tellement liées que, une valeur quelconque de l'une d'elles étant
ET DÉRIVÉES. l8l
donDfée, on peut en conclure la valeur correspondante de Tautre, on dit que chacune des variaUes est fonction de l'autre.
Si y est exprimé immédiatement au moyen de x, comme
dans jr = ax, J = -> y = x^^ J=^% jr=aloga:,
y"=^ a sin x, on dit que y est une fonction explicite de ar, et l'on se sert des notations j^ = f (x), / = F (x), etc.
Si l'on donné seulement une relation entre y et a:, par exemple une équation à laquelle les deux variables doivent satisfaire, la fonction qui n'est pas exprimée immédiatement au moyen de l'autre variable est dite implicite.
Exemple : *T "+" T"» — i = o-
Une relation de ce genre s'écrit ainsi en général :
Dans les autres exemples ci-dessus, x est fonction implicite dey. Une fonction implicite devient explicite par la résolution de Téquation. Par exemple on tire des équations précédentes
Y a '- logr \
a y -^ ' logy^
j: = arc (sin= -^U / = ±-v/a'— a:% ou
x = ±:l^lhr:^\
237. Toute fonction peut être représentée par une courbe, ce qui fait pressentir l'utilité très-étendue de la recherche des tangentes aux courbes comme moyen de reconnaître comment une fonction varie dans le voisinage
l8a DTFFÉRENTIÀTION
d'une de ses valeuré particulières. En général y étant une fonction de x désignée par F (x), la quantité -p- en est
une autre qu'on désigne par F'(x), et qu'on appelle la dérîi^ée de F (x). Le produit F' (a:) do: s'appelle la différentielle de F (a:) . La recherche du coefficient d'inclinaison ^ ^ ' ax
des courbes ou de la dérivée d'une fonction quelconque est le premier objet du calcul différentiel et a des applications importantes dans la mécanique.
238. Quand deux variables y et x sont liées Tune à Faûtre, on peut avoir à considérer tantôt la dérivée -p- dey
par rapport à x, tantôt la dérivée - — de x par rapport hj.
Or il est clair que ces deux quantités sont inverses l'une de l'autre, car la relation
Aj Ax Ax ày
subsiste pendant que les deux facteurs de ce produit approchent de leurs limites par le décroissement simultané de Ax et de Ay.
Ainsi
dj^ dx
dx dy
§ in. DIFFÉRBNTIATION DES PONCTIONS FONDAMENTALES
x^, -> logx, sinx.
