Soit y = log X

On a donc

j:-hAj = log (x-hAo:),

d'où

et

Aj = log(^^),

^x àx

On peut supposer que Ax en décroissant soit toujours une partie aliquote de plus en plus petite de x. Soit donc

Ax = •—: le dénominateur m. est dans cette hypothèse un

nombre entier qui croit indéfiniment. On a, en remplaçant

dans le second nombre Ax par — 9

--^ = -. m log ( I -+-—)=- log ( I -h — àx X \ nij ^ \ m

d'où

g=iU„[log(.^l)-].

OU bien

en remarquant que ces limites sont prises pour m croissant indéfiniment.

242. On a deux moyens de déterminer la limite de log ( iH I et par conséquent de Constater son existence.

DES FONCTIONS FONDAMENTALES. l85

(Il est à remarquer que, dans Texpressionl i H | > bien

que — devienne infiniment petit, on ne peut pas le négli-

fil/

ger auprès de i, parce que l'exposant m de la puissance devient infiniment grand. )

1°. Donner à m une grande valeur, et chercher dans les

tables, pour cette valeur, celle de log (iH )"* ou de

m [log (/n -f- I ) — log m] -, par exemple pour m = looo

cette formule donne o,434> et il est aisé de vérifier que pour

tout nombre m plus grand on obtient les trois mêmes

premiers chiffres fractionnaires. Ainsi, à moins de 0,00 1

près on a

dr , > j. dlog^ .5 , I

T^> c est-a-dire — ~— = 0,404 - * QiX ^x oc

2". On peut trouver directement la limite dont s'approche sans cesse la quantité ( iH ) à mesure que le

nombre entier m augmente. La formule de Newton, poussée au delà du (n -f- i )'^'"'' terme, donne

. lA"* m I m{m—\\ i

/w(iyi— i)(/yi— a)...[/w — (^— -Q] i / m—n i [in—n)\m — (/2-f-i)] i \