AX LX

Pour déterminer la limite de ce rapport, il faut être bien

fixé sur la signification qu'on attribue à la variable x. Il ne

suffit pas de dire que c'est un angle •, il faut encore savoir

quelle est Funité à laquelle cet angle est rapporté. Or l'usage

constant en analyse est de mesurer un angle par un arc-

compris entre ses côtés et ayant son sommet pour centre, et

d'exprimer cet arc non en degrés ni par sa longueur^ mais

par le rapport de cette longueur à celle du rayon qui par

conséquent est arbitraire, et disparait. Si donc on suppose

ce rayon pris pour unité de longueur^ la longueur de l'arc

exprime l'angle, de même que la moitié de la corde qui sous-

tend un arc double exprime le sinus. Cela posé, la quantité

asm —

— 9 rapport d'une corde à l'arc infiniment petit qu'elle

sous-tend, a sa limite égale à i .

D'une autre part, la limite de cos [x H ] est cos x\

l88 DIFFÉRENTIATION

donc

OU

,. Ar dr

lira -^ = -r^ = cos X ,

dsinx = cosj:.djc.

§ IV. THÉORÈMES ET RÈGLES POUR DIFFÉRENTIER TOUTES LES FONCTIONS A l'aIDE DES DIFFÉRENTIELLES FONDAMENTALES.

244. Différentiation des fonctions de fonction. Expliquons cette locution par un exemple. Soit

j =(logx)'".

Pour obtenir j^ quand on connaît x, il faut d'abord calculer log a:, fonction fondamentale de a:, puis élever log x à la puissance w, c'est-à-direconsidérerj" comme une fonction fondamentale de log x.

Soit en général

j = F(u) et «=:f(a:),

ce qu'on indique aussi par la notation

y est une fonction, fondamentale ou autre, désignée par F, d'une fonction indiquée par f de la variable indépendante X,

Pour différentier^ relativement à cette variable jc, supposons que celle-ci prenne un accroissement Ax auquel correspondent pour u ely les accroissements A m et Aj^. On a entre ces trois quantités la relation

Ao; Au ^x Or, à mesure que Ax décroît, Au et Aj approchent aussi