DES FONCTIONS DE FONCTION
de zéro ; et les trois rapports approchent simultanément de
leurs limites respectives -~5 -r- et ^r— > Téquation sub-
'^ . ax du dx ^
sistant toujours. On a donc
d/ df du
dx du dx
c'est-à-dire, d'après la notation convenue au n** 237,
dx
ou
ou encore
dy = F'[{[x)].P(x)dx,
djz=zF^ (u).du.
De là la règle suivante :
Théorème. Pour différentier une fonction de fonction, il faut prendre la dérii^ée de la fonction principale par rapport à la fonction subordonnée considérée comme une simple variable et multiplier le résultat par la différentielle de la fonction subordonnée.
Exemples,
1**. d(logx)"*=:m(logx)'""**dlogj:
= m loge (logo:)'"""* — •
, I dsin^r cola:,
2*^. d-: = :--— = : dx.
sin^ sm'^ smx
3^. dsinar"* = cosa:^dj:"* = mjc'^~*cosa:"*da:.
Remarque. Si la relation entre y et x était établie par deux équations de la forme
j = F(ii) et x=:f(u)^
190 DIFFÉRENTIATION
on démontrerait aussi facilement Téquation
dj dû F (m) dj; dx f (m) dtt
245. La fonction subordonnée {(x) dans F [f (j: )] peut être elle-même une fonction de fonction.
Soient trois fonctions superposées au lieu de deux ,
j = F(«), « = «!>(•'), et t' = 'F(ar),.
les notations F, 4> et Y indiquant des formes de fonctions quelconques. On a , d'après le théorème précédent,
di« = 4>'(i/)di^ et dj = F'(ii)da, d'où
'dj = F'(ïx)<I>'(i^)di^,
formule dans laquelle di^ signifie ¥' (a:) àx, et dj est la dérivée -p- multipliée par dx.
On peut aussi exactement et plus facilement écrire
Q /y» Cl M •• d v* du
dj^ = -p • -|— • di', pourvu qu'on se rappelle que -p- et -p
sont les dérivées dey et de u prises respectivement par rappart à u et à (^, et que les différentielles dj^ et d i^ sont prises relativement à une même variable indépendante.
Exemple : d sin* j:' = 4 sin' x * . d sin j:*
= 4 sin' x* . cos x' d (x* ) = Sxsin'x'cosj^'dj:.
246. Des fonctions composées. Si , ayant plusieurs fonctions d'une variable x, on les combine ensemble par des opérations quelconques, on forme une fonction composée.
E'Xemple : y =
DES FONCTIONS GO^IPOSÉES. IQl
af" sin' X
log^"
la formation de j exige préalablement celle de fonctions moins compliquées x'", sin* x, logo:.
Occupons-nous d'abord des cas les plus simples.
