GO /*00 /*0O /*0O

dy.e-*\ / (Uc.e-^= l dx f dy . «rV+A

Posons maintenant y = xt, t étant une nouvelle variable. Quelle que soit x entre les limites 0 et oo, aux valeurs 6 et oo de y correspondront également les valeurs 0 et oo de t; et l'on aura d'ailleurs dy = xdi* L'expression précédente se changera donc en

/oo /•o© /•oo /»oo

Effectuant d'abord l'intégration par rapport à a?, elle deviendra

i f00 rit

t 3= arc. tang. t , et par conséquent

■ = r, nous aurons définitivement 3- pour h

/oo dx.e-*. Donc

expression très-remarquable, et fréquemment employée dans plusieurs applications de l'analyse. 359. Considérons maintenant l'intégrale.

/oo daccos.rx.e-v*\

Différentiant par rapport à r, on trouve

2^- f °° <ir.*sin.ra?.*-v.

Mais nous ayons en intégrant par parties ,

fdx.x sin, r*.«r*v = — ^isiû- ^^-v + —J dx.co&.rx.r-ig%;

d'où Ton déduit, puisque le terme hors du signe est nul aux deux limites 0 et oo ,

Cette équation fait connaître la nature de la fonction U, qui est nécessairement

A désignant une constante. Ainsi nous avons

dx. cos. rx. e—** = A. e *•*•

Pour déterminer la constante À, on supposera r = 0, ce qui donnera

/QO dx.e-v = A.

/QO 1

dt-e""1' =- \/*, obtenue n° 358,

= ax y § dx . éT**-»1 = — i/îr = A.

on déduit en faisant t

L'expression de l'intégrale proposée est donc définitivement

dx . cos. rx . e 360. Soit encore l'intégrale

dx

cos. ax

2fcr

et prenons d'abord pour limite supérieure — , k désignant

un nombre entier. En écrivant donc

*kx

-/." *ss-

et différentiânt deux fois de suite par rapport à a , conformément à la règle donnée n° 344 , il viendra

dV f • , xsin. ax 2fo?

<** ~~ J o * + x* a* + 4feV'

d'où l'on conclut

ikK

V 7-5 = I <teCOS.frg — . a , ... r:t

dx% J 9 (a' + MW)«

ou simplement ( puisque l'intégrale du second membre a une valeur nulle),

u — =. txkm

da* (a1 + U&fif

Admettons maintenant que k soit un nombre infiniment grand; le second membre de cette équation deviendra infiniment petit. Par conséquent si U représente l'intégrale proposée, nous aurons

Cette équation détermine la nature de la fonction U, dont l'expression la plus générale est

Ar-° -h &*, A et B désignant deux constantes arbitraires. Mais il est

visible que l'on doit faire B = 0, puisque la valeur de l'intégrale proposée ne peut croître indéfiniment avec le nombre a. On a donc simplement

Pour déterminer la constante A , on supposera a = 0 ,

et comme

[*> dos i

A, il vient définitivement

/°° , cos. or . ***+* =