Si Ton remplace dans cette équation x par — , et a

par ma y elle se change en

/°° . cos. ax -k

et en différentiant par rapport à a , on a le résultat non moins remarquable

/°° . x sin. ax n

362. Pour donner un exemple de l'usage des imaginaires nous prendrons l'intégrale

/oo

dx.cos. Irx.er**.

En remplaçant cos. 2rx par sa valeur en exponentielles imaginaires , elle deviendra

ou en multipliant et divisant par t^\ afin de rendre les exposants de e, sous les signes d'intégration, des quanv> parfaits ,

|e-* f°° dx.r+-*V::iï + ±e* f* «te.é**+*^!. 2 J — « 2 J — oo

Mais on a , comme on Ta vu n° 358 ,

/oo * /»oo

«te . e—' =■ - 0c , et par conséquent / dx.tr9%= \ ~- ;

d'où l'on conclut

j dx. «r<-+* = 0c",

quelle que soit la constante réelle 6. Étendons maintenant <y

résultat aux valeurs imaginaires de 6, enfaisant6=±rv—'l'expression précédente de l'intégrale proposée deviendra

/oo

«te. cos. 2rx. e~*% = 0c. *"\

et Ton- aura par conséquent

«te. cos. îrx.e-** = r 0*,*""* f

Ce résultat s'accorde avec celui qui a été obtenu n9 359.

XXXI. Conditions dintégrabilité pour les ponctions différentielles DU PREMIER ORDRE À PLUSIEURS VARIABLES INDEPEN- DANTES. INTÉGRATION DE CES FONCTIONS LORSQU'ELLES SATIS- FONT AUX CONDITIONS D'iNTÉGRABILITÉ.

363 Considérons une fonction différentielle d'une seule variable telle que Xdx , X désignant une fonction contenant la variable x et des quantités constantes. La fonction Xdx pourra toujours être regardée comme la différentielle exacte d'une certaine fonction de x. En effet, ou Xdx sera la différentielle d'une fonction connue de j, et dans ce cas l'intégration s'effectuerait immédiatement , ou du moins l'on pourra effectuer cette intégration en développant la fonction X en série ordonnée en suivant les puissances entières de la variable x ou x — a> et prenant l'intégrale de chaque terme.

364. Soit maintenant une fonction différentielle du premier ordre de deux variables x, y , telle que Pdx + Qdy, où P , Q désignent des fonctions quelconques de x et y. Une telle fonction ne peut pas être regardée en général comme étant la différentielle exacte d'une fonction de x, y : cela n'a lieu qu'autant qu'il existe une certaine relation entre les quantités P et Q. En effet, soit U une fonction quelconque de or, y: la différentielle complète de U, c'est-à-dire l'accroissement de U correspondant aux accroissements simultanés dx et dy de x et y, sera, comme on l'a vu dans l'article IV,

rfU = Srfx+ dydy>

où — , —, représentent respectivement les coefficients différentiels de la fonction U pris en regardant x seule comme

2* knut.r.. 2

variable, et y seule comme variable. Il faut donc, pour que la fonction proposée Pdx + Qdy résulte de la différentiation d'une fonction quelconque U , que l'on puisse écrire

* dx' ^~~dym

Mais on a, comme on Ta vu n° 69, -=—7- = -7—7-; dooc on

' dxdy dydx devrait avoir également

dP dQ dy dx *

équation qui exprime la relation qui doit subsister entre les fonctions P, Q, pour que Vdx + Qdy soit la différentielle d'une fonction quelconque de x, y.

365. Si la fonction proposée est Pdx -f- Qdy + Rdz, où P, Q, R désignent des fonctions quelconques de x, y, x, on remarquera que U étant une fonction quelconque de x, y, s, on a

^T dV. , dV , , du.

Mais

dt/dz ~~ dzdy

Donc la fonction proposée ne pourra être la différentielle d'une certaine fonction de x, y, z, à moins que les fondions P, Q, R ne satisfassent aux conditions

dP dQ

rfPtfR

dQ dK

dy~~ dx'

dz~~ dx9

dz ~~ dy*

Et ainsi de suite s'il y avait un plus grand nombre de variables.

366. Lorsque les fonctions différentielles proposées satisfont aux conditions d'intégrabilité , on peut en obtenir l'intégrale de la manière suivante. Soit

dV — Pdx + Qdy ;

l'intégrale U doit nécessairement être de la forme

en désignant par Y une fonction de la variable y seule. Or, cette dernière équation donnerait :

dV fdP dï

dy-Jdï^+dï*

quantité qui doit être égale à Q. Ainsi

dx9

X = const. + fdy (Q — Jdx^J.

L'intégrale cherchée est donc

V = canst. + fdx.V + fdy\Q— fdx^p).