Soit encore proposée la différentielle

x* + y* \x y) Elle satisfait aux conditions d'intégrabilité, car Ion trouve

dP^dQ x*— y»

<îy ~~ cte "" (x* + y V"

Nous écrirons donc

i se met facilement sous la forme

et donna

On en déduit

0 =s arc tang. -+ te + T.

du __ __ x tftm dy~ x* + y* + dy;

et en comparant avec la différentielle proposée,

x* + xy + y» __

(x^+y^y a^ + y» ^dy'

d'où

dï i

■p = 1 et par conséquent Y = const. —/y.

L'intégrale cherchée est donc

U = arc tang. - + / - + const.

370. Les mêmes considérations s'appliquent aux différentielles contenant trois ou un plus grand nombre de variables. Soit

<flj = Pdx + Qdy + Rdz ,

une différentielle proposée satisfaisant aux conditions d'intégrabilité indiquées n° 365. L'intégrale U doit nécessairemen t

être de la forme

Y désignant ici une fonction des variables y et z seules. Cette équation donne comme ci-dessus ,

. dy~~J dy dy9

quantité qui doit être égale à Q. Donc

Z désignant une fonction de la variable z seule. Ainsi Ton a

et par conséquent

rfU , . rfP , c. (dQ . d*P\ , rfZ Tz = I^dz + idv{Tz--fdxdïdï)+dï-

Cette dernière quantité devant être égale à R , la fonction Z est déterminée par l'équation

rfZ „ ,. rfP f. /dQ e. d*P\ ce qui donne

Ainsi l'intégrale cherchée est

U = canst. + /d* . P + /rfî/ f Q — fdx -7- J

371. On vérifie encore ici que ce procédé d'intégration suppose l'existence des conditions d'intégrabilité indiquées n° 365. En effet, pour que le second membre de l'équation

dy v dy

soit, comme le premier, indépendant de x, il faut que la différentielle prise par rapport à x soit nulle, c'est-à-dire que

dP dQ dy-' dx'

Ensuite, pour que la quantité

t> CA <& CA /^Q CA rf'P\

soit une fonction de z seule, il faut que les différentielles de cette fonction prises par rapport à x et par rapport à y soient nulles, ce qui donne

d? CA / d*Q d*V\ n -Tz-sdy\dïdï-dUdï)=0'

rfR dx

dn f . (PP dy-idx^

dzdy dz J dydz

Dans ces deux dernières équations , les termes où entre le signe j se détruisent en vertu de la relation obtenue d'abord entre P et Q On a donc finalement , comme au n° cité ,

dP dQ

dP dK

dQ rfR

dy~~ dx9

dz~ dx9

dz~~ dy'