Lorsque dans l'équation

rfU = Pda; -h Qdy f

le second membre est une différentielle exacte , U est une fonction des deux variables indépendantes x, y. Dans la

géométrie on regardera cette fonction comme l'ordonnée d'une surface, mesurée perpendiculairement au plan dans lequel seront comptées les deux abscisses x et y. Mais il n'en est plus de même si la fonction différentielle Pdx + Qrfy ne satisfait pas aux conditions d'intégrabilité. L'équation dont il s'agit n'a plus alors aucun sans, puisqu'on ne peut plus la concevoir dérivée d'une relation analytique existante entre les trois quantités U , x, y . On ne peut lui en donner un qu'en établissant une certaine relation entre les variables x et y, qui ne seront plus alors toutes deux indépendantes. Posant donc y = <p (x), <p désignant une fonction entièrement arbitraire , l'équation proposée deviendra de la forme

M étant une fonction de x seule , qui contiendra la fonction arbitraire ?(x) et son coefficient différentiel du premier ordre. L'équation dV = Mdx peut toujours être intégrée. La fonction U qui sera donnée par l'intégration, représentera l'ordonnée d'une courbe dont la projection sur le plan des x, y a pour équation y = <p (x) ; et il est évident qu'à raison de l'indétermination de la fonction <p, il existe une infinité de courbes différentes auxquelles l'ordonnée U peut appartenir.

Ces notions s'étendront facilement aux cas où la fonction différentielle proposée contient un plus grand nombre de variables.