XXXII. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE A DEUX VARIABLES

376. On comprend en général sous cette dénomination toute équation de la forme.

dans laquelle x est regardée comme la variable indépendante; y comme une fonction variable dont la valeur dépend

de celle de x ; et -~ est le coefficient différentiel du premier

ordre de y, pris par rapport à x, c'est-à-dire le rapport des accroissements simultanés des variables x et y. Il s'agit de se former une idée de la relation qu'une telle équation établit entre ces deux variables.

Pour y parvenir, on remarque que l'équation propo-

• dy sée peut toujours être censée résolue par rapport à -£•>

en sorte que l'on en ait tiré

4L dx

= ?(*il0»

la fonction © désignant une fonction qui peut en général présenter une ou plusieurs valeurs distinctes. Admettons en premier lieu qu'elle ne présente qu'une seule valeur, et, pour fixer les idées . considérons x comme une abscisse et y comme l'ordonnée correspondante , en sorte que l'équation proposée doive représenter la figure d'une courbe plane. Si

l'on attribue arbitrairement à x et y deux valeurs quel-

d» conques a et b, l'équation précédente donnera pour — une

valeur déterminée , au moyen de laquelle on pourrait connaître quelle serait la variation fort petite de y à partir de la valeur 6, si x venait à augmenter ou à diminuer d'une quantité très-petite à partir de la valeur a. En effet, Ajr représentant un très-petit accroissement de x, on a sensiblement Ay = -j- Ax. Attribuant ensuite à x et y dans l'équaax

tion précédente les valeurs a -f- Ax et b + ~~ Ax, cette équi-

dy tion donnera une nouvelle valeur de •— qui pourra être em-

dx

ployéede la même manière. Il est évident qu'en opérant ainsi , on peut obtenir une courbe qui s'approchera indéfiniment de la courbe proposée à mesure que l'on attribuera des valeurs de plus en plus petites aux accroissements Ax. L'équation proposée doit donc être regardée comme déterminant la figure d'une certaine courbe dont on peut prendre arbitrairement un point quelconque.

Suivant la position arbitraire que Ton attribuera au premier point des courbes qui seraient construites par le moyen de l'équation précédente, non-seulement la position, niais en général la figure de ces courbes seront différentes. Néanmoins elles auront toutes un caractère commun , dont la nature est exprimée par l'équation différentielle proposée. Ainsi , à proprement parler, cette équation différentielle exprime une propriété commune à une infinité de courbes que Ton peut concevoir tracées sur un plan. Cette propriété détermine l'inclinaison de la tangente dans un point quelconque, en fonction des coordonnées de ce point : elle

donne le moyen de construire la courbe entière , lorsqu'un point quelconque de cette courbe est déterminé.

On peut remarquer d'ailleurs , que le choix de l'une quelconque des courbes en nombre infini auxquelles appartient l'équation différentielle proposée dépend d'une seule quantité arbitraire. Il suffira de fixer, par exemple , la valeur de y correspondante à celle de x = 0. En effet, Ton doit toujours retrouver la même courbe , quel que soit celui des points de cette courbe que Ton se soit donné.