Admettons en second lieu que l'équation

= ?(*.îf)

donne plusieurs valeurs différentes pour le coefficient diffé-

rentiel — . On peut considérer chacune de ces valeurs à part,

et lui appliquer ce qui a été dit dans le n° précédent. On verra dans ce cas que l'équation différentielle proposée appartient à plusieurs systèmes de courbes tracées sur un plan , qui se croisent en différents sens. Cette équation exprime des propriétés communes à toutes les courbes en nombre infini, qui appartiennent respectivement à chacun de ces systèmes , propriétés au moyen desquelles la tangente est déterminée dans un point quelconque des courbes en fonction des coordonnées de ce point ; en sorte que ces courbes pourraient être construites au moyen de l'équation proposée, si un de leurs points était donné.

378. 11 est facile de concevoir d'après cela ce que doit être VéquatUm primitive ou Yintêgrale de l'équation différentielle proposée. Cette équation primitive , si Ton veut qu'elle ait la même généralité que l'équation différentielle, doit convenir à l'une quelconque des courbes qui pourraient être

construites au moyen de cette équation. Ainsi, i* il faut qu'elle contienne une constante arbitraire , c'est-à-dire différente des constantes qui peuvent se trouver dans l'équation différentielle proposée, et qui entreraient dans l'expression analytique de la propriété représentée par cette équation. L'indétermination de la constante dont il s'agit donnera au résultat toute la généralité nécessaire pour qu'il représente le système entier des courbes auxquelles convient l'équation proposée. 2° il faut que cette équation primitive satisfasse à l'équation différentielle proposée, c'est-à-

du dire que les valeurs de y et — qui seraient tirées de l'équation primitive et de sa différentielle étant substituées dans l'équation proposée, la rendent identique, ou du moins qu'en éliminant la .constante arbitraire entre l'équation primitive et sa différentielle , .on retrouve l'équation proposée.

379. Toute équation en termes finis qui satisfait à une équation différentielle proposée, et qui contient une constante arbitraire, est l'intégrale générale de cette équation différentielle. Cette intégrale générale donne les intégrales particulières quand on y attribue diverses valeurs à la constante arbitraire.

Il existe dans beaucoup de cas des équations primitives qui satisfont à une équation différentielle proposée, mais qui ne contiennent pas .de constante arbitraire. Quelquefois ces équations sont des intégrales particulières dans lesquelles la constante arbitraire a disparu, à raison d'une certaine valeur que l'on aurait attribuée à cette constante , comme cela aurait lieu , par exemple , si on l'avait supposée égale à zéro ou infinie. D'autres fois les équations primitives dont il s'agit ont un caractère spécial , et doivent être considérées à part : elles constituent alors ce qu'on a nommé solutions parti™-

ïières. Nous nous occupons seulement dans cet article de la recherche de l'intégrale générale.