Soit pour exemple l'équation différentielle
On en déduit
et il est visible que cette équation appartient à une ligne droite quelconque passant par le point dont les coordonnées sont x = 0, y = 6. L'intégrale générale est
En effet , cette équation primitive satisfait à l'équation diffé-
dy rentielle, parce que les valeurs y = ax -f b, ■—• = a, que
ax
Ton en déduit, rendent identique cette équation différentielle; de plus elle contient la constante arbitraire a qui n'entre pas dans l'équation proposée. En faisant varier cette constante, les intégrales particulières qu'on obtiendra représenteront toutes les lignes droites diversement inclinées qui se coupent sur l'axe des y, à une distance b de l'origine. 38t. Soit encore l'équation différentielle
dont l'équation primitive est
y — ax — xf+b = 0 ,
b étant la constante arbitraire. Cette équation primitive re-
2* AÎWÉÏ. 3
présente une parabole dont le paramètre est égal à 1, et dont ! Taxe est parallèle à Taxe des y et placé à une distance — -
de cet axe. La courbe coupe Taxe des y à la distance — 6 de l'origine. Pour avoir toutes les courbes auxquelles appartient l'équation différentielle proposée, il suffira donc de faire varier la constante 6 dans l'équation primitive, depuis — o» jusqu'à -fc»; ou de transporter la parabole parallèlement aux y, sans changer la position de son axe.
L'équation différentielle-—— a— %x=0 conduit à l'équation primitive y — ax — x*-\-b=0, dans laquelle 6 est la constante arbitraire. On peut proposer de chercher une autre équation différentielle, qui conduirait à la même équation primitive dans laquelle a serait la constante arbitraire. Cette équation différentielle se trouvera immédiatement , en préparant l'équation primitive de manière que la différentiation fasse disparaître la constante a, c'est-à-dire en la résolvant par rapport à cette constante , ce qui donne
Différentiant , et supprimant le facteur commun ^> H vient
On peut aussi trouver la même équation différentielle sans résoudre l'équation primitive par rapport à a, en éliminant cette constante entre l'équation primitive et l'équation
~ — a— 22 = 0, qui s'en déduit par la différentiation. ax
L'équation différentielle que nous venons d'obtenir en dernier lieu, et dans laquelle la constante a a disparu, appartient, aussi bien que l'équation primitive dans laquelle a est regardée comme la constante arbitraire, à toutes les paraboles de paramètre =1, dont l'axe est parallèle à l'axe des y, et qui coupent cet axe à la distance —b de l'origine des coordonnées.
Au reste si l'équation y—x~r-+ x* + 6 = 0 était proposée , on ne pourrait pas en déduire immédiatement l'équation primitive dont elle dérive ; car le premier membre n'est pas une différentielle exacte d'une fonction des variables x et
y. Mais il le devient en restituant le facteur — r.
