Si l'équation différentielle proposée était

on en déduirait

dx

Par conséquent , cette équation appartient aux deux systèmes de lignes droites qui forment avec l'axe des m des angles dont les tangentes trigonométriques sont respectivement a et —a. Elle a pour intégrale générale

y1 — aV — 26y + 6, = 0 ,

résultat de la multiplication des deux équations y-f ax— fc=0, et y—ax — 6=0, qui appartiennent respectivement, à cause de la constante arbitraire 6, à l'une quelconque des lignes droites de l'un ou de l'autre système. En effet, en différentiant l'équation précédente , on a

et en éliminant b entre ces deux équations , on retrouvera Féquation proposée.

383. En général, étant donnée une équation primitive contenant les deux variables x , y et plusieurs constantes a, 6, c, etc., que nous désignons par

F(a?,yfa,6,c,etc)=0t

l'équation qui s'en déduit immédiatement par la différentiation,

subsistera en même temps que cette équation primitive. On peut donc combiner d'une manière quelconque les deux équations dont il s'agit. Il est possible que la différentiation ait fait disparaître une des constantes a, b, c, etc.; et c'est ce qui aura lieu si cette constante se trouve seulement dans un terme qui ne contienne ni x< ni y. On peut éliminer une constante quelconque qui se trouverait à la fois dans les deux équations. On peut aussi éliminer une certaine fonction de xy y, qui se trouverait dans quelques termes. Il est possible enfin, que tous les termes de l'équation différentielle se trouvent multipliés par un facteur en X, y qui disparaîtra quand on égalera la sommé de ces termes à zéro. On voit ainsi que d'une même équation primitive, on peut en général déduire par diverses opérations plusieurs équations différentielles différentes les unes des autres, et l'on conçoit la difficulté du problème qui consiste à trouver l'intégrale d'une équation différentielle quelconque proposée.

Équations différentielles du premier ordre où le coefficient différentiel n'entre qu'à la première puissance.