Considérons une équation différentielle proposée du

du premier ordre dans laquelle le coefficient différentiel -j2 ne se

trouve qu'au premier degré, et qui sera de la forme P + 0 ^ = 0 f ou Vdx + Qdy = 0 ,

P et Q désignant des fonctions quelconques de x et y.

Il est visible d'abord que, si la fonction Pdx -f Qdy était une différentielle exacte d'une certaine fonction de x, y, c'est-à-dire, si elle satisfaisait à la condition d'intégrabilité indiquée n° 364, il suffirait de prendre l'intégrale de cette fonction, conformément aux règles données dans l'article précédent. Cette intégrale, complétée par une constante arbitraire, étant égalée à zéro, serait l'intégrale cherchée. Ce cas particulier ne peut avoir lieu, qu'autant que l'équation différentielle proposée est le résultat immédiat de la différentiation de l'équation primitive mise sous une forme telle, que la constante arbitraire se trouvant dans un terme où x et y n'entraient point , cette constante a pu disparaître par le seul fait de la différentiation.

385. L'équation proposée s'intègre toujours, ou du moins la recherche de l'intégrale est ramenée aux quadratures, lorsque les variables sont séparées, c'est-à-dire, lorsque cette équation est mise sous la forme

X<te + Ydy = 0, X désignant une fonction quelconque de x seule, et Y

une fonction quelconque de y seule. L'intégrale générale est alors

/da\X + /rfy.Y + A = 0,

A désignant la constante arbitraire.

Les variables sont évidemment aisées à séparer qijand l'équa-

dy tion étant résolue par rapport à -*- , on trouve

cela donne en effet

«te-*-1'

386. Ul séparation des variables s'opère quelquefois au moyen d'une transformation, ou d'un changement de variables. L'exemple le plus remarquable est celui de l'équation

^ + Py + Q = Of ou dy-f Pyd* + Qd* = 0,

dans laquelle P, Q désignent des fonctions de x seule, et que l'on appelle équation linéaire du premier ordre, ou équation du premier degré et du premier ordre , paroe qu'elle ne contient que la première puissance de la fonction y et de son

dy coefficient différentiel -£. SpH fait

y = Xf, d'où dy = t(UL+Mt,

en désignant par X une fonction de a? et par t une nouvelle variable. Ces valeurs , substituées dans l'équation proposée, donnent

tdX + tyft + Plidr + (M*=sO,

Or la fonction X étant indéterminée, on peut la déterminer par la condition que l'équation soit partagée dans les deux suivantes :

tdX + Qdx = 0, et dt + Ptdx = 0.

Les variables sont séparées dans la seconde, qui donne, j=— Pcte, fc = — /Pris, t^e-f**";

et cette valeur de t étant substituée dans la première , il vient

Mettant ces valeurs de X et t dans y = Xf, on trouve donc

y = *-/"•( j<te Vp<to+ a) ,

pour l'intégrais générale de l'équation proposée, A étant la constante arbitraire.

387. On peut intégrer par la même méthode les équations de la forme

tf—Kdy + Py*f dx + Qdx = 0 1

P et Q désignant toujours des fonctions quelconques de x. En effet , cette dernière équation deviendra semblable à celle du n° précédent si Ton pose jp=x.