Pour qu'une équation différentielle

Pdx + Qdy =. 0 ,

se présente sous la forme différentielle exacte d'une fonction des deux variables x> y, il est nécessaire en général que cette équation soit le résultat immédiat de la difiérentiation de l'équation primitive. Hais lors même que cette circonstance a lieu , l'équation différentielle ne se présente pas toujours sous la forme d'une différentielle exacte , parce que la différentiation introduit quelquefois des facteurs communs aux différents termes, qui disparaissent quand on égale la différentielle k zéro. Par exemple, l'équation primitive étant

la différentielle du premier membre est — "~^ax etenégalant cette quantité à zéro, on aura simplement xdy — t/rfx = 0,

dont le premier membre n'est point une différentielle exacte.

390. Quelle que soit d'ailleurs l'origine d'une équation différentielle . on démontre qu'il existe toujours un facteur va-

riable tel que si l'équation est multipliée par ée facteur, elle deviendra une différentielle exacte. En effet, supposons l'équation proposée mise sous la forme

Y désignant une fonction quelconque de a?, y. L'intégrale générale de cette équation aura pour premier membre une certaine fonction de x, y et d'une certaine constante arbitraire a, qui ne se trouve pas dans l'équation différentielle. Admettons qu'ayant résolu cette intégrale générale par rapport à a , on l'ait mise sous la forme

U désignant une fonction de x, y. ai nous différencions alors cette équation , il viendra

du dU dV dy ^ dy dx A

équation dans laquelle la constante a a disparu , et qui doit par conséquent être identique avec l'équation différentielle proposée. On doit donc avoir

du

dï + y~dx + dû' ou \di + *)dy-dx+!fidx9

Or la quantité -r — |--r 3~ ** la fonction dérivée complète

de la fonction U, Donc il en sera de même de la quantité -rï + V, lorsqu'on l'aura multipliée par — .

On est assuré d'après ce qui précède de l'existence d'un facteur par lequel l'équation proposée étant multipliée, cette équation devient immédiatement intégrable. De plus on voit quel doit être ce facteur, et qu'il serait connu si l'équation primitive était connue.