Soit, par exemple, l'équation primitive

En la différentiant on trouve

ydy — a(dx + dy) = 0;

et en éliminant la constante a entre ces deux équations oo obtiendra l'équation différentielle

(2x + y)dy — ydx = 0.

Cette équation ne satisfait pas aux conditions d'intégrabiliw Mettant l'équation primitive sous la forme

on a pour la dérivée du premier membre prise par rapport à y y y + ^f. Mettant également l'équation différentielle sous

la forme

dx 2a?+y *

si on la multiplie , conformément à ce qu'on a vu dans le

(&r -f- y)y n° précédent, par le facteur y ' :* on trouvera

!/H2jy dy __ y' 0

%x+y)* dx 2(x+y)s ~ w •

c'est-à-dire

(if+2xy)dy— y*dx

expression où l'on reconnaît la différentielle complète de la

y1 fonction . , et dont par conséquent on déduit immé-

diatement l'équation primitive. 392. On conclut d'ailleurs de l'équation

du dVdy

dy v dx dy dx dx + rfU '

du n° 390. qu'outre le facteur — , il en existe une infinité

dy d'autres qui auront la propriété de rendre la fonction -p + V

une différentielle exacte. En effet, on remarquera que la quantité

/f„ /dU ^ dV dy\ W\te+dydx)

est la dérivée complète d une certaine fonction de U que nous désignerons par *(U). Donc si on multipliait le premier membre de l'équation précédente par

il deviendrait une dérivée exacte d'une certaine fonction de x,y. Cette fonction serait la fonction môme qui a été désignée par *(U) ; en sorte que l'intégrale serait

4>(U) = cornu 9

d'où Ton tire immédiatement

U = consi. ,

c'est-à-dire l'intégrale de l'équation proposée. Ainsi tous les multiplicateurs compris dans l'expression <p(U) —, où © désigne une fonction entièrement arbitraire, ramèneront tonjours à cette même intégrale.

393. Nous avons obtenu dans le n° 386 , pour l'intégrale de l'équation

dy + Pydx + Q<Lv = Of

dans laquelle P et Q désignent des fonctions de x seule ,

A étant la constante arbitraire. D'après ce qui précède on mettra donc cette intégrale sous la forme

A = f dx.Qef*" + y.ef*** = 0 ,

et le facteur par lequel il faudra multiplier l'équation différentielle pour la rendre intégrable sera , conformément au

C'est ce qu'on peut vérifier directement ; car soit (i le ftc-

teur cherché, que nous supposerons devoir être une fonction de x seule. Comme le terme jiQcte est intégrable , il s'agit seulement de déterminer p. par la condition de rendre une différentielle exacte la quantité

pdy + yPydœ ; c'est-à-dire que Ton doit avoir

Prfx

^ = jiP, ou ^=Pd*; d'où [L = ef]