Soit en général l'équation

Pdx + Qdy = 0 ,

P et Q désignant des fonctions quelconques de x et y. Si Ton représente par p le facteur qui. rendrait cette équation intégrable , la fonction p devra évidemment satisfaire à la condition

dy ~ dx '

c'est-à-dire

Fdy gd.r4fAW

-Si-'

Mais cette dernière équation est presque toujours plus difficile à traiter que l'équation proposée elle-même.

395. Nous remarquerons d'ailleurs, que toutes les fois qu'on parvient à séparer les variables dans l'équation

Pdx + Qdy = 0, au moyen d'une transformation quelconque, on connaît

immédiatement le facteur par lequel il faudrait multiplier cette équation pour rendre Pdx + Qdy une différentielle exacte.

En effet, supposons qu'ayant remplacé x et y par d'autres variables s et * , l'équation proposée soit devenue

Uds + Nrf/ = 0 ,

M et N étant des fonctions de * eW; et qu'en divisant les deux termes par la fonction V de $ et Mes variables se trouvent

séparées , en sorte que rr soit une fonction de * seule, et que - soit une fonction de t seule. La quantité — ds + - disen

donc devenue une différentielle exacte. Or, en remplaçant

dans cette quantité s et t par leurs valeurs en x et y, elle ne

différera point de la quantité — dx + ~ dy (en concevant

toujours que Ton ait mis dans V à la place de * et t leurs

valeurs en x et y ). Donc ~ dx + — dy serait nécessairement

aussi une différentielle exacte.

396. Nous avons donné dans le n* 388 , pour exemple de la séparation des variables, l'équation

qui , en faisant y = xt, d'où dy = tdx-\-xdt, devient

[f(t) + t]dx + xdt = 0,

et dans laquelle les variables se séparent lorsqu'on divise les deux termes par x[f[t) -f i]. D'après ce qui précède, l'équation dont il s'agit doit donc être rendue intégrable en la mul-

— Âl —

tipliantpar le facteur , où l'on remplacerai par sa

valeur en x et y ; c'est-à-dire par le fitcteur