MM

En effet, cette équation devient alors

f(l)dx + dy

qui se met facilement sous la forme

dy ydx

dx , x x* h— 7-r = 0:

celle-ci est intégrable , puisque — — ^ est la différentielle

de».

Théorème des fonctions homogènes.— Intégration des équations homogènes.

397. On désigne par le nom de Théorème des fonctions homogènes 9 certaines relations qui existent entre une fonction homogène, c'est-à-dire une fonction composée de termes dans lesquels la somme des exposants des variables est un nombre constant, et ses coefficients différentiels des divers ordres pris par rapport à ces variables. Soit U une fonction homogène de plusieurs variables x,y, etc. En mettant tx à la place de œ, tg à la place de y, tx à la place de *, etc., cette fonction deviendra f"U,n désignant la somme des exposants des

variables dans chaque terme. On peut d'ailleurs faire /=i-ff ce -qui revient à mettre x -f gx à la place dex,y+gyà la place de y, etc. On aura en appliquant le théorème de Taylor,

et en développant le premier membre et égalant les tenues affectés des mêmes puissances de l'indéterminée g ,

etc.

398. La considération de ces relations facilite quelquefois Tintégration des fonctions de plusieurs variables. Lorsqu'une fonction est homogène, une différentiation effectuée sur cette fonction n'en altère pas l'homogénéité. Si PcLr + Qdy+etc. est la différentielle d'une fonction homogène U de degré n-f I. P, Q, etc. seront homogènes de degré n, et l'on aura

(n + i)U = Px + Qy + etc.

réciproquement , il est aisé de vérifier que P, Q, etc. étant des fonctions homogènes du même degré n et ?dx+Qdy+e(c. satisfaisant aux conditions d'intégrabilité, on a en effet

dfps + Qy + etc.) = (n -fi) ÇPdx + Qdy + etc>

A part le cas de n= — 1 , cela permet d'écrire immédiatement l'intégrale de toute différentielle homogène exacte.