Dans l'exemple du n° 400, l'équation proposée

[x — 2y)dx + ydy=0 deviendra intégrable, d'après ce qui précède , en la multipliant PW 'x-tyx+f q«^evient à^i^. En effet, l'équation

{x—îy)dx+ydy

peut s'écrire.

dx—dy dx x(dx—dy)

[comme on peut le vérifier en réduisant tous les termes au même dénominateur), ou bien

d'où Ton déduit immédiatement l'intégrale trouvée cidessus.

Équations du premier ordre dans lesquelles se trouvent la seconde puissance ou les puissances supérieures du coefficient différentiel.

404. Lorsque l'équation différentielle contient les puissances supérieures du coefficient différentiel ---, on peut la

dx

concevoir résolue algébriquement par rapport à ce coefficient considéré commel'inconnue. Si Ton égale ensuite à zéro les facteurs correspondants à chacune des racines , on aura autant

d'équations différentielles dans lesquelles -j- ne sera plus

qu'au premier degré, et dont on pourra prendre les intégrales qui seront complétées chacune par une constante arbitraire. Le produit de ces diverses intégrales donnera l'intégrale générale de l'équation proposée. D'ailleurs, on ne diminue point la généralité de cette intégrale en admettant que ce soit la même constante arbitraire qui entre dans tous ces facteurs. D'où l'on voit que toute équation différentielle du premier ordre , dans laquelle entre la puissance n du coefficient différentiel -y- , a pour intégrale une équation primitive, où la

constante arbitraire est élevée à la puissance n.

On a donné, n° 382, un exemple d'une équation de cette espèce.

405. Souvent la résolution algébrique de r équation proposée n'est pas possible , et par conséquent le procédé qui

vient d'être indiqué, ne peut être appliqué. On parvient quelquefois à intégrer une équation du genre de celles dont il s'agit en la mettant d'abord sous la forme

dy L désignant une fonction de x et de -~s que nous désignerons pour abréger par y'. Si ensuite Ton différencie, il viendra

rfL dh dij J "dx^dy dx%

équation différentielle du premier ordre entre y' et x. Si elle peut être intégrée , on obtiendra une équation entre y' et x avec une constante arbitraire; et en éliminant ensuite y' entre cette équation et la proposée, on obtiendra l'intégrale cherchée.