En posant

y = sin. x nous aurons

fy 8in.fo + As) — sin. a; sin.iAx / 1 \ ** "" " S = -p~ °os. (x + - A* j :

lorsque A* approche indéfiniment de zéro, le rapport de «a. i ^ à l'arc { a* tend vers l'unité , qui est sa limite : la limite de ^ est donc

d'où l'on conclut que

d.sin. x == cos. x.dx.

De même en posant

y = cos.j?,

on a

*T cos.(a?+ Aar) — coa.a? sin.jAx / i \

dont la limite est

-g = — ain. a?; d'où d.cos.x = — sin.x.<ùr.

Ainsi la fonction dérivée de sin.x est cos.a ; et réciproquement, la fonction dérivée de cos.b est sin.a, mais pris avec le signe — .

D'ailleurs , la différentielle de sin.a: étant connue, on en déduit immédiatement celle de cos.a. C'est ce qu'on verra au n° 33.

III. DIFFERENTIATION DBS FONCTIONS COMPOSEES OU FONCTIONS DE FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE.

24. Les fonctions dont on vient de s'occuper doivent être regardées comme les éléments simples dans lesquels se résolvent toutes les expressions de l'analyse (du moins tant que l'on ne considère pas la partie de cette science qui est du ressort du calcul intégral). En effet, toute formule est composée des fonctions dont il s'agit , combinées entre elles , soit par le moyen des signes qui indiquent les opérations ordinaires de l'algèbre , soit par l'usage des caractéristiques log., sin., cos., que l'on peut regarder comme indiquant d'autres opérations plus compliquées , et dont l'exécution a été facilitée par la construction des tables. La recherche directe de l'expression de la différentielle de trois fonctions ccm , log.a? et sin.a;, a dû nous occuper d'abord : on peut y ramener la détermination des deux quantités d.a*, d. cos. a; que nous avons obtenues tout à l'heure par des procédés particuliers. A l'égard des autres fonctions plus composées ,

3 existe des règles faciles, par le moyen desquelles on réduit la recherche de leur différentielle à leur recherche de la différentielle d'une fonction plus simple contenue dans la première. En appliquant ces règles, on parvient progressivement aux derniers éléments dans lesquels la fonction proposée peut se résoudre , et qui se trouvent toujours (en exceptant certaines expressions dont on s'occupera en traitant du calcul intégral ) Tune des fonctions simples qui ont été le sujet de l'article précédent. Sachant donc différentier ces fonctions, on sait également différentier toutes les autres.

Pour faire connaître les règles dont on vient de parler, soit en premier lieu

v désignant une fonction quelconque de x. 11 s'agit d'avoir la différentielle de la variable y, qui est ici ce que Ton nomme une fonction de fonction de la variable indépendante x; c'est-à-dire la variation infiniment petite que subit y lorsque x augmente de la quantité infiniment petite dx. En revenant toujours au principe énoncé n° 12, et désignant par At? l'accroissement de la fonction v correspondant à l'accroissement Lx de x> on aura

*y^f(y + to)-m

ùx"-" bx '

qui peut s'écrire

&y ___f(v + to)) — f(v) to

Supposant ensuite que àx s'approche indéfiniment de zéro, on devra a la limite remplacer — , par — , et

f(v + àv) — /[v) dy

r\ 1 / fw pgy. * D()nc

Af> r df>

dy rfw d» ., . . dy dv .

Ainsi le coefficient différentiel demandé -^ s'obtient ici

dx ■

en prenant d'abord le coefficient différentiel -p , comme si

v désignait une variable indépendante, puis multipliant

par — , qui est le coefficient différentiel de la fonction v pris

«par rapport à la variable indépendante x.

A cause de -7- dx = dv, l'équation dy=^—.^-.dx re-

dy vient à celle-ci dy = -^ dv dont la forme est la même que

si v était la variable indépendante. En posant, par exemple, y == vm, et se rappelant la formule du n° 17, on en conclut que d (vm) = mv^dv , quelle que soit la fonction v. 25. Si l'on avait

V = f(Ph

p étant fonction de v et v fonction de x, on aurait d'abord ,

d'après la règle précédente, -^ = ~ -£;. Mais d'après

cette même règle -£ = -£ — : donc D (te (focte

dy^dydpdv dv „%! *P Q fo

dx dp dv dx' " dp dv dx

Et ainsi de suite.