Soit en second lieu

m et v désignant deux variables qui sont elles-mêmes des fonctions de la variable indépendante x : il s'agit toujours

de trouver le coefficient différentiel -p. Remarquons que

la différence ày ou f (u -f- Au, v + At>) — f (u,t?) de la fonction proposée est identiquement égale à

f(u + Au,*) — f(u9v) + f(u + Au,u + A») — f(u + Au,i>). Donc

Ay f(if + Ati,p) — f(ntt?) f (u -f Au,p 4- Ap) — f (m -h Ati,p) Ax~ Ax "^ Aa>

Quant à la limite vers laquelle tend cette expression lorsque Ax tend à devenir égale à zéro, celle du premier terme est évidemment, d'après ce qu'on a vu ci-dessus,

du du

~--r-. La limite du second terme, si Au était constante,

A» dx

.A d.f[u 4- *u,v) dv * j • * «

serait -^ — ^ — — .• mais comme Au devient nulle en

dv dx

même temps que A#, cette dernière quantité ne diffère point

de *' ; * ' — , ou ~ -r-. D'après cela dv dx dv dx r

*l éy du.dydv • /rfy du dy dv\

dx~dudx + dvdx' ei "V-ydudx + dvdx)™'

On voit donc que le coefficient différentiel demandé s'obtient en prenant successivement les coefficients différentiels par

rapport aux deux fonctions u et v , c'est-à-dire en regardant successivement u seule comme variable, et v seule comme variable, et ajoutant les résultats.