Considérons encore l'équation

* = xtang.O — #*

qui appartient à la trajectoire d'un projectile lancé dans le vide. En faisant varier l'angle de projection 6> on obtient diverses courbes ayant une enveloppe dont l'équation se trouvera, conformément au n° 409, en différentiant par rapport à % ce qui donne

0 = i-^tang.G;

puis en éliminant 0 entre cette dernière équation et la précédente. On trouvera ainsi pour l'équation cherchée

La courbe tangente à toutes les trajectoires est donc une parabole dont Taxe est vertical , et dont le sommet est à la

hauteur — au-dessus de l'origine.

XXXHI. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES A. DEUX VAJUABUS DU SECOND QJtftRE ET DES ORDRES SUPÉRIEURS.

422. Une équation différentielle du second ordre a généralement la forme

r\x'y'dx> fa*)-0'

x est la variable indépendante, y une autre variable dont la valeur dépend de celle de x au moyen de la relation établie par cette équation.

On peut faire sur l'équation dont il s'agit, des remarques analogues à celles qui ont été faites dans le n° 376. Considérons x comme l'abscisse et y comme l'ordonnée d'une courbe. Si l'on voulait construire la courbe à laquelle appartient l'équation précédente , on la supposerait résolue par rapport

d*v à -=~, dont la valeur se trouvera donnée en fonction de x,y ax

et -i-. On fixerait ensuite arbitrairement les valeurs de x et ax

y, c'est-à-dire un point quelconque par lequel on voudra

faire passer la courbe. On fixerait de plus arbitrairement la

va.eur de ~ , c'est-à-dire l'inclinaison que la courbe devra

avoir en ce point. L'équation proposée donnera alors une

valeur déterminée pour -^ , au moyen de laquelle le trace

de la courbe dont il s'agit pourra être effectué. En effet, faisant varier x d'une quantité très-petite Aar, on obtiendra approximativement les valeurs des coordonnées d'après le tableau suivant :

ANcluet.

x + bx

Ordonné*! correspondantes.

On pourra donc construire la courbe avec une exactitude d'autant plus grande que les variations àx seront prises plus petites. Ainsi, l'équation proposée exprime une propriété commune à une infinité de courbes que nous concevons tracées sur un plan. Elle détermine la figure de ces courbes lorsqu'on s'est donné un point par lequel elles doivent passer, et la direction de la tangente en ce point. Cette équation doit être re gardée comme ayant une signification plus étendue que l'équation du premier ordre , puisqu'il ne suffit plus ici pour déterminer la courbe de se donner un de ses points; il faut encore se donner la direction de la tangente en ce point.

On voit d'ailleurs, que le choix entre Tune quelconque des courbes qui peuvent être représentées par l'équation proposée dépend ici de deux quantités arbitraires dont Tune

déterminerait y, et l'autre —y quand on se serait donné x.

423. L'intégrale générale de l'équation du second ordre proposée devant offrir la même généralité que cette équation, devra évidemment contenir deux constantes arbitraires. De plus cette intégrale devra satisfaire à l'équation différentielle proposée. Ces conditions suffisent pour que l'intégrale et sa différentielle représentent toutes deux le même système de courbes.