Considérons en général une équation primitive

dans laquelle a et 6 sont deux constantes et où nous regardons y comme une fonction de x. On pourra parvenir à son équation dérivée du second ordre de plusieurs manières différentes : 1° en différentiant deux fois de suite par rapport à x, puis éliminant entre cette équation et ses deux différentielles les constantes a et b; 2° en différentiant une fois, puis éliminant successivement a et & entre l'équation primitive et son équation différentielle du premier ordre. On obtiendrait ainsi deux équations différentielles du premier ordre di£rentes Tune de l'autre , dont chacune ne contiendrait qu'une constante arbitraire. Si Ton différentie ensuite chacune de ces équations , et si Ton élimine la constante qu'elle contient an moyen de la différentielle que Ton aura obtenue, elles conduiront toutes deux à la même équation du second ordre. qui ne différera point de celle que l'on aura trouvée par le premier procédé.

En effet, l'équation primitive F [x, y, a, 6,) = 0 doit être considérée comme représentant un double système de courbes; savoir les courbes que l'on trouverait en faisant varier a, b demeurant constante, et les courbes que l'on trouverait en faisant varier 6, a demeurant constante. Chacune des équations dérivées du premier ordre dans laquelle une des constantes a disparu, répond séparément à l'un de ces systèmes Quant à l'équation unique du second ordre, où aucune des deux constantes ne se trouve , elle appartient également aux deux systèmes de courbes, et exprime une propriété qui leur est commune.