Soit par exemple l'équation primitive
y*+ay + bx = 0 (1)
qui appartient à une parabole ayant son axe parallèle à l'axe des x , et passant par l'origine des coordonnées. En disant
varier a, h demeurant constante, on changera à la fois la position du grand axe et le paramètre, et en faisant varier b, a demeurant la constante, on changera seulement le paramètre. L'équation différentielle du premier ordre est (en écri~
vant pour abréger y' et y" au lieu de •—- et ^~ J
2yy'+flt/'+6 = 0;
et en éliminant successivement a et b entre cette équation et l'équation primitive, on obtient les deux équations du premier ordre
y*y'+tty-xy') = o (3)
y«— îxyy'+flto— xyQ = 0 (4)
qui appartiennent respectivement aux deux systèmes de paraboles dont on vient de parler.
En différentiant l'équation (3) on a
2yy*+yY'— fcry"=0;
et en éliminant 6 entre cette équation et l'équation (3), il vient pour l'équation du second ordre
iW+W— 2xy"=0 (5)
En différentiant l'équation (4), on a
et en éliminant a entre entre cette équation et l'équation (4), on retrouve l'équation du second ordre (5). L'équation primitive et ses deux différentielles sont
if+ay + bx^O,
Et en éliminant à la fois a et 6 entre ces trois équations, on retrouve également l'équation du second ordre (5). Cette équation , dans laquelle les deux constantes a et b ont disparu , exprime une relation qui subsiste pour l'une quelconque des courbes paraboliques que peut représenter l'équation (i), quand on y donne à ces constantes toutes les valeurs possibles.
Les équations (3) et (4), contenant chacune une constante arbitraire, sont les deux intégrales du premier ordre, ou intégrait! premières de l'équation (5). L'équation (1) contenant deux constantes arbitraires est V intégrale seconde de cette même équation. Si l'on élimine y' entre les deux équations v3 et (4), on retrouve l'équation (i).
426. En général, si Ton obtient par un moyen quelconque, deux équations différentielles du premier ordre satisfaisant à une équation différentielle du second ordre proposée, et contenant chacune une constante qui n'entre pas dans cette
dernière équation • on obtiendra, par l'élimination de y ou ^
entre les deux équations dont il s'agit, une équation primitive contenant deux constantes arbitraires, qui satisfera nécessairement à Péquation proposée, et en sera l'intégrale générale.
427. Les notions qui viennent d'être exposées s'appliquent évidemment aux équations différentielles d'un ordre quelconque. Une équation différentielle de l'ordre n a toujours a intégrales de l'ordre immédiatement inférieur, qui contiennent chacune une constante arbitraire différente. Toutes ces constantes doivent se retrouver dans l'intégrale générale, si l'on veut que cette équation ait la même généralité que l'équation différentielle proposée. En effet, une équation primitive et ses différentielles successives jusqu'à l'ordre n donnent n+ 1.
équations au moyen desquelles n constantes arbitraires peuvent être éliminées. Si Ton connaissait les n intégrales premières de l'équation proposée, on pourrait en déduire l'intégrale niimê, ou l'équation primitive , en éliminant entre ces n intégrales les n — 1 coefficients différentiels, y', y", y"'
Ces notions paraîtront encore plus évidentes en considérant la formule de Taylor,
qui donne le développement de la fonction y en série ordonnée suivant les puissances entières de la variable x, au moyen des valeurs de cette fonction et de ses coefficients différentiels qui correspondent à x = 0. Soit une équation différentielle de l'ordre n ,
' V 9*9dx9 dx*' dx>' dx»)-Q'
dont nous supposons ici que dépend la fonction y. On déduira de cette équation différentielle l'expression de — en
fonction de x,y, g, ^, g, ^ ; et par suite les
expressions des coefficients différentiels des ordres plus élevés. Amsi les valeurs de -^, -^ , -^— £, etc., seront connues
en fonction des valeurs de y0 , ^ , -rr > -r^>- ™7 <tor dxi dx*1
dn-xy<>
. Si
l'on substitue donc ces valeurs dans l'expression générale de y, on obtiendra une relation entre x et y qui sera le développement en série infinie de l'intégrale générale de l'équation différentielle proposée, et dans laquelle ces dernières
quantités, qui sont en nombre n, demeureront entièrement arbitraires.
428. Remarquons de plus que la formule de Taylor donne, en y faisant * = — x ,
V*-y *dx + 2 dx* 2.3 dx> + 2^4 5^ etC"
et que si on l'applique aux fonctions -^, ^ , ^, etc. , on aura également
<ty« __<ty r^v , & î(!m£L d*y x* tï^^
dx" dx dx* + 2 dx* 2.3 «te* ' + 2.3.A «fr* c ' ï!!^ — !?£ rf^.ar* rf*y x8 d'y , a* d'y ^
rfar» "" dr» *dr* "^ 2 dr» 2.3 <ir« + 2.3.4 <**'
Or, l'équation différentielle proposée étant de Tordre ».
donnera -r-^ et tous les coefficients différentiels des ordres dxn
plus élevés en fonction de x,y, -^, -t-?, -A-?. Ensub-
. '*' dx dx1' dx*'1
stituant leurs valeurs dans les n premières de ces équations.
on aura donc, conformément à ce qui a été dit ci-dessus, »
équations différentielles de l'ordre n — 1 contenant cbscotf
une constante arbitraire différente y*,^, *^, -j-p*
Intégration des équations différentielles les plus swpln du second ordre et des ordres supérieurs.
429» Celte intégration ne peut être effectuée que dans un petit nombre de cas particuliers; Soit en premier lieu
l'équation
X désignant une fonction de x seule. Multipliant les deux membres par le facteur constant dx, et intégrant, il viendra
dx
Multipliant une seconde fois par dx, et intégrant de nouveau on aura
dy=Adx + dxj\dx> et f/=B-f Ax + fthfXdx ,
pour l'intégrale demandée , dans laquelle A et B sont les deux constantes arbitraires.
En intégrant par partie fdx fXdx, l'expression précédente de y pourra s'écrire
y = B + Ax + xj \(Lc — / Xxdx*
Si l'équation proposée était
on trouverait de la même manière
y = C + Rr + àïl + fdxjdxfXdxi ou, si Ton veut
y^ + Bx+^ + ^fXdx-xjXxdx+^JXxhlxi
A, B, G étant les trois constantes abitraires, et ainsi de suite; Il est facile de reconnaître la loi de ces expressions;
