Si Ton avait
les trois variables l, u, v étant des fonctions de la variable indépendante xy une méthode semblable (*) conduirait à l'expression
dx dt dx du dx do dx9
d'où
# (dy dt ,ày du dy dv\ ay-\dtdx+dudx+ d»~dx) to;
et ainsi de suite s'il y avait un plus grand nombre de fonctions dépendantes de la variable x.
Usage des règles précédentes.
28. Les seules règles qui viennent d'être exposées , réunies aux résultats présentés dans l'article II , suffisent pour trouver la différentielle d'une expression analytique quelconque. Nous ajouterons ici quelques remarques propres à faciliter ce genre d'opérations.
Lorsque la fonction est composée d'une autre fonction combinée avec une constante* par addition, soustraction ou
(*) Il faudrait observer alors que la différence Ay est identiquement é&*\ekf{t + àttutv)-f(t,uyt)+f(t + M,u + Au,t>)-f(l + Ae,ii,r) + fll + AI^ + AiM + A^-Kf+A^u+Au,*).
multiplication, la notion seule de la différentielle suffit pour indiquer le résultat Ainsi
y = a + v donne dy = dv y = a — v dy = — dv
y — av dy = adv.
On a déjà vu (n° 24) que
d(vm) = mot*ml.dv,
m étant une constante quelconque.
29. Lorsque la fonction est composée de plusieurs fonctions ajoutées entre elles, multipliées ou divisées les unes par les autres , le résultat se déduit de la règle des n" 26 et 27. Désignant toujours par t, u, v des fonctions de la variable indépendante x,
y = u + v donne dy = du + dv y = uv dy = vdu + udv
y = tue dy = uvdt H- tvdu -t- tudv
u . __ du udv __ vdu — udv
1J "~ iT ^ "" ~v v1 ~~ v*
La dernière expression s'obtient en observant que d. -
j -i dv = d.v * = .
v* Si l'on veut que la différentielle dy soit exprimée au moyen de la différentielle dx de la variable indépendante, on remplacera it% du et dv par y- cte, — dxy et
dx
30. Nous considérerons maintenant les combinaisons les plus simples auxquelles donne lieu l'usage des fonctions logarithmiques, exponentielles et trigonométriques , que les géomètres appellent communément fonctions transcendantes.
La marche à suivre pour obtenir la différentielle consiste toujours à mettre la fonction proposée sous des formes semblables à celles des fonctions générales qui ont été considérées dans les noa 24 et suivants, c'est-à-dire à distinguer les quantités que l'on regardera comme fonctions les unes des autres , jusqu'à ce qu'on parvienne aux fonctions les plus simples. Soit
Cette formule revient à
y = lv , et Ton a v = lx.
Donc , d'après les noi 20 et 24,
d'où
