Si l'équation proposée était
P désignant une fonction de -^ ou y" seulement, on remar-
querait que cette équation peut s'écrire
et que Ton en tirera oomme ci-dessus
et *=B+ f . **
Mais Ton a de plus
dy=*dx=-^ÊÉ==% d'où y=c+ Ç~dtÈL—.
aV V Jk+VPdï* V J v'A+2/P^
En éliminant if entre ces deux équations, on trouvera l'intégrale demandée , contenant les trois constantes arbitraires A, B, C.
434. Ce procédé s'étend facilement aux équations des ordres plus élevés , dans lesquelles le coefficient différentiel est donné en fonction seulement du coefficient différentiel de l'ordre inférieur de deux unités. Soit l'équation
tf*y
0 étant fonction de -^ ou y" seulement Cette équation re-
vient à
d'où l'on tire comme ci-dessus
dx-.
dtf
VA+Î/Qd»"' L'on a ensuite
dtr
t/A+2JQdy"
y/A.+2JQdy" J \jA+2jQdy"
Puil
dy=y'dx=Cdx-t--
dyf'
= f V"dy-'
v'A+2/Qdy".
J v'A+a/Qdy'V VA+2/Qdy"
L'élimination de y" entre ces deux équations donnera l'intégrale cherchée. On remarquera que quand même cette élimination ne pourrait être effectuée, ces équations donneraient néanmoins deux valeurs correspondantes de x et y, en fixant arbitrairement une valeur de y". 435. Soit par exemple l'équation très-simple
dx*
k désignant un nombre positif. L'intégrale sera, d'après le ii*433,
d'où l'on déduit facilement (en changeant de constantes)
Mais si Ton avait
«te» **•
il viendrait
d'où Ton tire
y = ^±shLs/k(x-B)9
ou, ce qui revient au même (en changeant de constantes , y—K sin.x^k + B cos.ar \ÏL
Ces deux intégrales peuvent évidemment se déduire l'une de l'autre, en ayant égard aux relations des exponentiel!* imaginaires avec les fonctions trigonométriques.
Des facteurs propres à rendre intégrable une èquatio* différentielle d'un ordre quelconque.
436. Soit une équation d'un ordre quelconque *, mise son* la forme
<te*
+r\*>y'dx> **»* dx*-*)-"'
et considérons une des équations de Tordre (»— l)<M<* peut la déduire par l'élimination d'une constante arbitrai* *• On peut supposer que l'élimination a été faite en résolvait l'équation de l'ordre (n— i) par rapport à a, puis différentiant,
ce qui donne une équation de l'ordre n, où -r? n'entre qu*
la première puissance , mais avec un coefficient, fonction de Xj y et des dérivées de y jusqu'à Tordre (n—1). Il faudra diviser l'équation par ce coefficient pour obtenir la forme(A). Réciproquement donc il existe des facteurs, fontions de x, y et des dérivées de y jusqu'à Tordre (n — 1), qui sont tels, que le premier membre de l'équation (A) étant multiplié par Tun quelconque d'entre eux, deviendra nécessairement une différen-
dy d*y d*""1!/ tielle exacte des quantités variables x, y, -p, -7-^, da*~*m
Soit, par exemple, l'équation du second ordre
dy d*y où nous écrivons pour abréger yf et y" au lieu de -p et -j-^;
et représentons par
l'équation du premier ordre dont elle dérive, a étant la constante que Ton a fait disparaître. Pour opérer l'élimination de a, on a pu résoudre l'équation F=0 par rapport à cette constante , puis égaler à zéro la différentielle de la fonction de x, y 9 y' trouvée pour valeur de la racine. L'équation ainsi obtenue peut s'écrire
da , da . , da ,, te + Tyï+M*-0'
et en la mettant sous la forme
da da .
rfy' elle devra devenir identique avec l'équation différentielle
proposée tf + f(r, y, jfle=0; d'où l'on conclut que Pot i identiquement !
et comme le second membre est la fonction dérivée complète a' de la fonction de x, y, y' trouvée pour valeur de t en résolvant l'équation F = 0, il en doit être de même du premier. Ainsi l'équation proposée devient immédiatement
intégrable lorsqu'on la multiplie par -77-
Remarquons de plus que la règle pour les dérivées des fonctions implicites, appliquée à l'équation F=0, donne
dF dF da da dy*
dtf+fo~d? = °> d0Ù^ = ~dF-
da
On a donc par ce qui précède
dF
w*+fl**tf)i3f=-*.
da
ce qui montre qu'en multipliant l'équation proposée par le dF
facteur -~ , le premier membre devient une différentielle
exacte dont l'intégrale est — *, la valeur de a étant donnée par l'équation F=0.
D'ailleurs l'équation proposée deviendra également une
différentielle exacte si on la multiplie par
rfF da
, f (a) dési-
gnant une fonction quelconque de a; puisqu'elle sera alors identique avec la quantité — ?(«).«'. Représentant par <t>(a) la fonction dont — <p(a).a' est la fonction dérivée, l'intégrale de l'équation proposée sera donc <P(a)=con$t., ce qui donne a=const. Et comme on doit remplacer a par sa valeur tirée de Téquation F=0, cm voit que l'équation a=const., ne diffère point de Téquation F=0 dans laquelle a est regardée comme une constante arbitraire.
437. On a vu ci-dessus, qu'une équation du second ordre avait toujours deux équations primitives ou deux intégrales du premier ordre, contenant chacune une constante arbitraire différente. 11 résulte de ce qui précède que chacune de ces équations donnerait des facteurs différents, également propres à rendre le premier membre de cette équation du second ordre une différentielle exacte. De plus, tous ces facteurs peuvent être compris comme il suit dans une formule générale. Soient
F(*,y,y',a) = Of et F1(a?,y,y',6) = 0f
les deux équations primitives du premier ordre de l'équation proposée, a et b étant les deux constantes arbitraires. Oa aura donc, d'après ce qu'on a vu plus haut,
rfF
ltf'+f(*.y,y')]% = -
dâ rfFj
[f+f(x.V,y'))jlt = -b'.
~db
Soit maintenant 4>(a, b) une fonction quelconque de a,k. Multipliant respectivement les deux équations précédentes par
<to (te
