jt> et ajoutant, il yiendra

04JL OÙ

t *> *r rxi I àady' , d6 dy' \ /d* . , d4> \

et comme le second membre est la fonction dérivée complète

de — *i*,b), il s'ensuit que l'équation proposée étant mul-

d* dF d* dF,

.. ,- , i- ^ dadtfdbdjF^. . .

tiphee par le facteur J -j — ^r2-» devient une fonction

dâ "56

dérivée complète, dont la fonction primitive est — *(«,M= const.

Comme on peut prendre une autre fonction quelconque V(a,6) , qui conduirait à l'intégrale — V(a,6)=coiw*., on en conclut a=const. et 6= const. pour les deux intégrales de l'équation proposée, a et b étant déterminées respectivement, par les équations F=0 et F,=0.

Les notions précédentes s'étendent facilement aux équations différentielles d'un ordre quelconque.

Intégration des équations linéaires à deux variables (ftin ordre quelconque.

438. On nomme linéaires les équations dans lesquelles la fonction y et ses coefficients différentiels n'entrent qu'à la première puissance. Elles sont généralement de la forme

S+pS+o^-f +u*=v' • • • ■<*>

P,Q, U,V représentant des fonctions quelconques de la

variable indépendante x.

Nous considérerons en premier lieu l'équation

+V . D*""1!* i nrf""fy

Z5+PHS+Q

dr»

dr*

+ +Uy=Of

dans laquelle les coefficients P,Q, U seraient des quantités constantes, C'est-à-dire indépendantes de x et y. Il s'agit d'intégrer cette équation, c'est-à-dire de trouver une expression de y en fonction de x qui y satisfasse, et qui contienne n constantes arbitraires de plus que n'en renferme l'équation différentielle proposée.

Si nous supposions y = cF*, nous aurions en général

j7~=pV*; et en substituant cette valeur dans l'équation

proposée , il viendrait

p» + Pp,,-1 + Qp*-,-f- + U=o.

Par conséquent, si Ton prend pour p une des racines de l'équation (3), la valeur y =e?x satisfera à l'équation (2); ce sera une valeur particulière de la fonction y. Et comme Péquation (3) aura en général n racines différentes, que nous désignerons par p', p", p", p™, nous aurons de cette manière n valeurs particulières de la forme e**, qui toutes satisferont à l'équation (2).

En multipliant chacune de ces valeurs, par un coefficient constant, elles ne cesseront pas de satisfaire à l'équation (2). Ne plus cette équation sera également satisfaite par la somme de deux ou d'un plus grand nombre des valeurs dont il

s'agit. Il résulte de là qu'au moyen des n valeurs particulières correspondantes aux racines j»',p'\p*, jt*\ on peut

former l'expression

y = A'e*'- -{- A"é*"*+ km*»*+ + AC-fc^,

qui satisfait à l'équation différentielle proposée, et qui, contenant les n constantes arbitraires A\A>%A,m9.~.kw9eûe& nécessairement l'intégrale générale.

439. Si l'équation (3) avait des racines imaginaires, la méthode précédente s'appliquerait également, les eipooeotielles imaginaires pouvant être remplacées par des anus 4 cosinus d'arcs réels. Soient en effet « -f 6 y7 — 4 et a—6 V-* deux racines imaginaires de l'équation (3). Les valeurs particulières correspondantes seront

ou

ou

A W+ty-») + AVtMv'-u , e«*[(A'+A")cos.6s+ (A'— ATj)/^ï.tàXLix) ,

ou, en écrivant B' et B" à la place de À' + À*et

««•(B' COdte + 1T rin.*r) t-

B' et B" représentant de nouvelles constantes arbitraires.

440. Si l'équation (3) a deux ou plusieurs racines égales» la méthode dont il s'agit parait eh défaut. L'intégrale pread alors une forme particulière que l'on peut trouver de la manière suivante. Supposons d'abord que les premières racines p' et p" diffèrent très-peu l'une de l'autre , en sorte que tf*

puisse écrira p*=p' + w, *> étant une quantité très«petite. La somme des deux valeurs particulières correspondantes sera donc

A't*» + A*v+»)» = é**( A' + A"e*») , ou en développant l'exponentielle *"*,

e** (a'+A"+ A^+à"ÏÏ— + etc. V

Si maintenant on suppose que o> devienne infiniment petite , rien n'empêche de prendre les valeurs de A' et A" telles que A"** conserve une valeur finie et arbitraire, ce qui suppose A" infiniment grande , et que A' -{-À" conserve également une valeur finie et arbitraire, ce qui suppose A' aussi infiniment grande , et de signe contraire à A". Quant aux termes contenant les puissances supérieures de u>, ils devront être négligés. La somme des deux valeurs particulières dont il s'agit deviendra done dans le cas de deux racines égales àj*V

B* et 3" désignant deux constantes arbitraires.

Le même raisonnement s'appliquerait an cas où les trois racines p',p",pm seraient égales entre elles. Supposant p"=p'-f en, nous aurions donc pour la somme des trois valeurs particulières correspondantes

«•*»( A# + A"a?) + L'eP*»» f

c'est-à-dire

(f + L*m + r+km*» + Lm^+km^+l^

Admettons maintenant que <■> devienne infiniment petite.

— 9i — Nous pourrons néanmoins prendre A1, A", A" telles que les

quantités A' + A*, A" +• A" o>, — — conservent des valeurs

finies et arbitraires. Supprimant d'ailleurs le terme contenant &>' et les tefmes suivants, il restera pour la somme des trois valeurs particulières dont il s'agit.

On procéderait de la même manière dans le cas où il y aurait un plus grand nombre de racines égales; et l'on voit qu'en général l'existence d'un nombre r de racines égales à p' dans l'équation (2) donne lieu à autant de valeurs particulières dont la somme est exprimée par

<*'*(B'+B";r + 8***+ + BCnr"-1).